古德曼函數

古德曼函數（Gudermannian function）是一個函數。它無須涉及複數便將三角函數和雙曲函數連繫起來。

性質

古德曼函數，圖中的藍色橫線為漸近線$y=\pm \frac{\pi }{2}$。

古德曼函數的定義如下

$\begin{array}{cc}\mathrm{g}\mathrm{d}(x)& =\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{dt}{\cosh t}-\mathrm{\infty }<x<\mathrm{\infty }\\ & =\arcsin (\tanh x)=\text{arctan}(\sinh x)=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{c}(\coth x)\\ & =\text{sgn}(x)\cdot \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{h}x\right)=\text{sgn}(x)\cdot \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}(\cosh x)\\ & =2\arctan (e^x)-\frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{2}-2\mathrm{arccot}(e^x)\\ & =2\arctan (\tanh \frac{x}{2})\\ & =\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\left(\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{h}x\right)\\ \end{array}$

（$\begin{array}{c}\mathrm{g}\mathrm{d}(x)=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\left(\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{h}x\right)\end{array}$僅在arccot的值域設為$[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$時成立，參見反餘切。）

有以下恆等式：

$\begin{array}{cccc}\sin \left(\text{gd}x\right)& =\tanh x;& \cos \left(\text{gd}x\right)& =\text{sech}x\\ \tan \left(\text{gd}x\right)& =\sinh x;& \sec \left(\text{gd}x\right)& =\cosh x\\ \cot \left(\text{gd}x\right)& =\text{csch}x;& \csc \left(\text{gd}x\right)& =\coth x\\ \tan \left(\frac{\text{gd}x}{2}\right)& =\tanh \frac{x}{2};& \cot \left(\frac{\text{gd}x}{2}\right)& =\coth \frac{x}{2}\\ \end{array}$

反函數

古德曼函數的反函數，圖中的藍色直線為漸近線$x=\pm \frac{\pi }{2}$。

古德曼函數之反函數的定義為：

$\begin{array}{cc}\text{arcgd}x& ={\mathrm{g}\mathrm{d}}^{-1}x=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{dt}{\cos t}-\pi /2<x<\pi /2\\ & =\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}(\sin x)=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}(\tan x)\\ & =\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{h}(\csc x)=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{h}(\cot x)\\ & =\text{sgn}(x)\cdot \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}(\sec x)=\text{sgn}(x)\cdot \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{h}(\cos x)\\ & =2\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}(\tan \frac{x}{2})\\ & =\ln |\sec x(1+\sin x)|\\ & =\ln |\tan x+\sec x|=\ln |\tan (\frac{\pi }{4}+\frac{x}{2})|\\ & =\frac{1}{2}\ln \left|\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right|\end{array}$

有以下恆等式：

$\begin{array}{cccc}\sinh \left({\text{gd}}^{-1}x\right)& =\tan x;& \cosh \left({\text{gd}}^{-1}x\right)& =\sec x\\ \tanh \left({\text{gd}}^{-1}x\right)& =\sin x;& \text{sech}\left({\text{gd}}^{-1}x\right)& =\cos x\\ \coth \left({\text{gd}}^{-1}x\right)& =\csc x;& \text{csch}\left({\text{gd}}^{-1}x\right)& =\cot x\\ \tanh \left(\frac{{\text{gd}}^{-1}x}{2}\right)& =\tan \frac{x}{2};& \coth \left(\frac{{\text{gd}}^{-1}x}{2}\right)& =\cot \frac{x}{2}\\ \end{array}$

餘函數

古德曼函數的餘函數

古德曼函數之餘函數的定義為：

$\begin{array}{cc}\text{cogd}x& =\{\begin{array}{c}\underset{x}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{dt}{\sinh t}0<x<\mathrm{\infty }\\ \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}\frac{dt}{\sinh t}-\mathrm{\infty }<x<0\end{array}\\ & =-\text{sgn}(x)\cdot \ln |\tanh \frac{x}{2}|\\ & =\text{sgn}(x)\cdot \ln |\coth x+\text{csch}x|\\ & =2\text{artanh}(e^{-\left|x\right|})\cdot \text{sgn}(x)=2\text{arcoth}(e^{\left|x\right|})\cdot \text{sgn}(x)\\ & ={\text{cogd}}^{-1}x\\ \end{array}$

有以下恆等式：

$\begin{array}{cccc}\sinh \left(\text{cogd}x\right)& =\text{csch}x;& \cosh \left(\text{cogd}x\right)& =\coth \left|x\right|\\ \tanh \left(\left|\text{cogd}x\right|\right)& =\text{sech}x;& \text{sech}\left(\text{cogd}x\right)& =\tanh \left|x\right|\\ \coth \left(\left|\text{cogd}x\right|\right)& =\cosh x;& \text{csch}\left(\text{cogd}x\right)& =\sinh x\\ \end{array}$

微分

它們的導數分別為：

$\begin{array}{c}\frac{d}{dx}\text{gd}x=\text{sech}x;\frac{d}{dx}\text{arcgd}x=\sec x;\frac{d}{dx}\text{cogd}x=-\text{csch}\left|x\right|\\ \end{array}$

應用

• 在雙曲幾何中，表達式

$\frac{\pi }{2}-\text{gd}(x)$

定義了Template:Le函數。

• 在使用麥卡托投影法的地圖，若以$y$表示一個地點在地圖跟赤道的距離，則其緯度$\varphi$和$y$的關係為：

$\varphi =\text{gd}(y)$

• 古德曼函數在倒單擺的非週期解中出現。

參考

• CRC Handbook of Mathematical Sciences 5th ed. pp 323-5.
• Gudermannian Function -- from Wolfram MathWorld Template:Wayback

發現者的生平

克里斯托夫·古德曼（Christof Gudermann，1798年–1852年）是德國數學家，是高斯的學生，卡爾·魏爾施特拉斯的老師。[1] Template:Wayback[2] Template:Wayback