诺伊曼边界条件

在数学中，诺伊曼边界条件（Neumann boundary condition) 也被称为常微分方程或偏微分方程的“第二类边界条件”。诺伊曼边界条件指定了微分方程的解在边界处的微分。

在常微分方程情况下，如

$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+3y=1$

在区间$[0,1]$， 诺伊曼边界条件有如下形式：

$y^{\prime }(0)={\alpha }_1$

$y^{\prime }(1)={\alpha }_2$

其中${\alpha }_1$和${\alpha }_2$是给定的数值。

一个区域$\mathrm{\Omega }\subset R^n,$上的偏微分方程，如

$\mathrm{\Delta }y+y=0$

($\mathrm{\Delta }$表示拉普拉斯算子)，诺伊曼边界条件有如下的形式：

$\frac{\partial y}{\partial \nu }(x)=f(x)\mathrm{\forall }x\in \partial \mathrm{\Omega }.$

这里，$\nu$表示边界$\partial \mathrm{\Omega }$处(向外的)法向；$f$是给定的函数。法向定义为

$\frac{\partial y}{\partial \nu }(x)=\mathrm{\nabla }y(x)\cdot \nu (x)$

其中∇是梯度，圆点表示内积。

参看

• 狄利克雷边界条件