实数完备性

Template:NoteTA 直观上，实数完备性（Template:Lang-en）意味着实数轴上（以理查德·戴德金的说法）没有“间隙”。这是实数区别于有理数的特点，有理数在数轴上是有间隙的，即无理数。在十进制计数法下，实数的完备性等价于：实数与一个十进制小数表示一一对应。

实数的完备性公理有一组等价命题，完备性的定义方式与实数的构造方式相关。在确立其中之一为公理后，其余皆为完备性公理的等价定理。

等價命題

实数完备性可以用以下任意一个等价定理作為出發點。以下從最小上界定理出发，來证明其他等价命题。

最小上界性

Template:Main又稱為上確界定理（Theorem of Least-Upper-Bound, 簡稱LUB），也就是 Template:Math theorem 也就是說，实数非空子集有上界，则它有最小上界。其證明請參見實數的構造。

柯西收敛准则

设 $\{s_n{\}}_{n\in \mathbb{N}}$ 是實數柯西序列。设 S 為這樣一個集合，其中每個實數只大於序列 $\{s_n{\}}_{n\in \mathbb{N}}$ 中的有限個成員。$\mathrm{\forall }\epsilon \in {ℝ}^{+}$，设 $N\in {\mathbb{N}}^{+}$ 使得 $\mathrm{\forall }n,m\ge N$， $|s_n-s_m|<\epsilon$。於是这个序列在区间 $(s_N-\epsilon ,s_N+\epsilon )$ 裡出現无限多次，而且只在它的補集裡最多出現有限次。这意味着 $s_N-\epsilon \in$ S， 因此 S$=\mathrm{\varnothing }$。另外 $s_N+\epsilon$ 是 S 的上界。於是通过 LUB 公理，可以设 b 是 S 的最小上界，而且 $s_N-\epsilon \le b\le s_N+\epsilon$ 。由三角不等式，當 n>N 時成立时 $d(s_n,b)\le d(s_n,s_N)+d(s_N,b)\le \epsilon +\epsilon =2\epsilon$。所以 $s_n⟶b$ 。

滿足柯西收敛准则的度量空間稱為完備空間，若取函數 $d$ 為

$d=\{(a,b)|(a,b\in ℝ)\wedge (b=|a|)\}$

可以驗證 $(ℝ,d)$ 為一度量空間，這樣本節的結果也可以重新敘述為「實數系 $ℝ$ 有最小上界定理等價於 $(ℝ,d)$ 為完備空間。」

区间套原理

Template:Main 定理聲稱對於任一的有界閉區間套Template:Math（例如Template:Math並滿足Template:Math），它們的交集Template:Math非空，且為閉區間$[\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n,\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{b}_n]$；特別地，假若$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n-b_n=0$，則它們的交集J為一個包含且僅包含$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n$的單點集。

单调有界定理

Template:Main 如果$\{a_k{\}}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}$是一个单调的实数序列（例如單調遞增：$a_k\le a_{k+1}$），则这个序列具有有限极限，当且仅当序列有界。此定理可以由LUB公理證明。

聚点定理

Template:Main 波爾查諾-魏爾施特拉斯定理（Template:Lang-en）说明，$ℝ$中的一個子集$E$是序列緊緻（每個序列都有收斂子序列）当且仅当$E$是有界閉集。更一般地，這個定理對有限维实向量空间${ℝ}^n$亦有效。

参考资料

• Upper and Lower Bounds (including the lub axiom)，Springer's Encyclopedia of MathematicsTemplate:Wayback
• Apostol, Tom M. "Mathematical analysis." (1964).