闵可夫斯基不等式

在数学中，闵可夫斯基不等式（Template:Lang inequality）表明L^p空间是一个赋范向量空间。设 $S$ 是一个测度空间，$1\le p\le \mathrm{\infty },f,g\in L^p(S)$，那么 $f+g\in L^p(S)$，我们有：

$\Vert f+g{\Vert }_p\le \Vert f{\Vert }_p+\Vert g{\Vert }_p$

如果 $1<p<\mathrm{\infty }$，等号成立当且仅当 $\mathrm{\exists }k\ge 0,f=kg$，或者 $g=kf$ .

闵可夫斯基不等式是 $L^p(S)$ 中的三角不等式。它可以用赫尔德不等式来证明。和赫尔德不等式一样，闵可夫斯基不等式取可数测度可以写成序列或向量的特殊形式：

${(\sum _{k=1}^n|x_k+y_k{|}^p)}^{\frac{1}{p}}\le {(\sum _{k=1}^n|x_k{|}^p)}^{\frac{1}{p}}+{(\sum _{k=1}^n|y_k{|}^p)}^{\frac{1}{p}}$

将所有实数 $x_1,\cdots ,x_n,y_1,\cdots ,y_n$（$n$ 为 $S$ 的维数）改成复数同样成立。

值得指出的是，如果 $x_1,\cdots ,x_n,y_1,\cdots ,y_n>0$，$p<1$，则 $\le$ 可以变为 $\ge$ .

积分形式的证明

我们考虑 $\Vert f+g{\Vert }_p$ 的 $p$ 次幂：

${(\underset{a}{\overset{b}{\int }}|f(x)+g(x){|}^{p}dx)}^{\frac{1}{p}\cdot p}=\underset{a}{\overset{b}{\int }}|f(x)+g(x)||f(x)+g(x){|}^{p-1}dx$

（用三角形不等式展开 $|f(x)+g(x)|$）

$\le \underset{a}{\overset{b}{\int }}|f(x)||f(x)+g(x){|}^{p-1}dx+\underset{a}{\overset{b}{\int }}|g(x)||f(x)+g(x){|}^{p-1}dx$

（用赫尔德不等式）

$\le {(\underset{a}{\overset{b}{\int }}|f(x){|}^{p}dx)}^{\frac{1}{p}}{(\underset{a}{\overset{b}{\int }}|f(x)+g(x){|}^{q(p-1)}dx)}^{\frac{1}{q}}+{(\underset{a}{\overset{b}{\int }}|g(x){|}^{p}dx)}^{\frac{1}{p}}{(\underset{a}{\overset{b}{\int }}|f(x)+g(x){|}^{q(p-1)}dx)}^{\frac{1}{q}}$

$=[{(\underset{a}{\overset{b}{\int }}|f(x){|}^{p}dx)}^{\frac{1}{p}}+{(\underset{a}{\overset{b}{\int }}|g(x){|}^{p}dx)}^{\frac{1}{p}}]{(\underset{a}{\overset{b}{\int }}|f(x)+g(x){|}^{qp-q}dx)}^{\frac{1}{q}}$

（利用 $p=qp-q$，因为$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$）

$=[{(\underset{a}{\overset{b}{\int }}|f(x){|}^{p}dx)}^{\frac{1}{p}}+{(\underset{a}{\overset{b}{\int }}|g(x){|}^{p}dx)}^{\frac{1}{p}}]{(\underset{a}{\overset{b}{\int }}|f(x)+g(x){|}^{p}dx)}^{\frac{1}{q}}$

现在我们考虑这个不等式序列的首尾两项。首项除以尾项的最后一个因子，即得

${(\underset{a}{\overset{b}{\int }}|f(x)+g(x){|}^{p}dx)}^{\frac{1}{p}}\le {(\underset{a}{\overset{b}{\int }}|f(x){|}^{p}dx)}^{\frac{1}{p}}+{(\underset{a}{\overset{b}{\int }}|g(x){|}^{p}dx)}^{\frac{1}{p}}$

这正是我们所要的结论。

对于序列的情形，证明是完全类似的。

参阅

• 马勒不等式

参考文献

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