有理函數

有理函數（Template:Lang-en）是可以表示為以下形式的函數：

f (x) = \frac{a_{m} x^{m} + a_{m - 1} x^{m - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0}}{b_{n} x^{n} + b_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + b_{1} x + b_{0}} = \frac{P_{m} (x)}{Q_{n} (x)}; m, n \in ℕ_{0}

，

b_{i}

不全為0。

有理數式是多項式除法的商，有時稱為代數分數。

漸近線

Template:Main

不失一般性可假設分子、分母互質。若存在 $r > 0$ ，使得 $(p x + q)^{r}$ 是分母 $Q (x)$ 的因子，則有理函數存在垂直漸近線 $x = - q / p$ 。
若 $m < n$ ，有水平漸近線 $y = 0$ 。
若 $m = n$ ，有水平漸近線 $y = \frac{a_{m}}{b_{m}}$ 。
若 $m = n + 1$ ，有斜漸近線 $y = \frac{a_{m}}{b_{n}} x + \frac{b_{n} * a_{m - 1} - b_{n - 1} * a_{m}}{{b_{n}}^{2}}$ 。

只有一条水平渐近线

泰勒級數

有理函數的泰勒級數的係數滿足一個線性遞歸關係。反之，若一個泰勒級數的係數滿足一個線性遞歸關係，它對應的函數是有理函數。

部分分式

部分分式，又稱部分分數、分項分式，是將有理數式分拆成數個有理數式的技巧。

有理數式可分為真分式、假分式和帶分式，這和一般分數中的真分數、假分數和帶分數的概念相近。真分式分子的次數少於分母的。

若有理數式 $\frac{P (x)}{Q (x)}$ 的分母 $Q (x)$ 可分解為數個多項式的積，其部分分數便是 $\sum \frac{A_{n}}{Q (x) / h_{n} (x)}$ ，其中 $h_{n} (x)$ 是 $Q (x)$ 的因子， $A_{n}$ 是次數不大於Q(x)/h_n(x)的多項式。

例子

分拆 $\frac{x^{3} - 5 x + 88}{x^{2} + 3 x - 28}$

分子的次數是3，分母的是2，所以先將它轉成真分式和多項式的和（即帶分式）：

$x - 3 + \frac{32 x + 4}{x^{2} + 3 x - 28}$

因為 $x^{2} + 3 x - 28 = (x + 7) (x - 4)$ ，所以

$\frac{32 x + 4}{x^{2} + 3 x - 28} = \frac{A}{x + 7} + \frac{B}{x - 4}$

其中A和B是常数。两边乘以 $x^{2} + 3 x - 28$ ，得

$32 x + 4 = A (x - 4) + B (x + 7)$

即

$32 x + 4 = (A + B) x + (7 B - 4 A)$

比較係數，得

$A + B = 32$

$7 B - 4 A = 4$

解得 $A = 20, B = 12$ 。

故： $\frac{x^{3} - 5 x + 88}{x^{2} + 3 x - 28} = x + \frac{20}{x + 7} + \frac{12}{x - 4} - 3$

也可以把x的特殊值代入等式来解出A和B。例如，当x=4时，我们有

$128 + 4 = 11 B$

$B = 12$

当x=-7时，我们有

$- 224 + 4 = - 11 A$

$A = 20$

應用

積分

部分分數

Template:Main 在計算有理數式的積分時，部分分數的方法很有用，因為分母的1和2次多項式的有理數式的積分都有固定的方法計算。

分母為1次多項式：求 $\int \frac{1}{a x + b} d x$ 。

設 $u = a x + b$ ：

\frac{d u}{d x} = a

\frac{d u}{a} = d x

原式變為

\int \frac{1}{u} \frac{d u}{a} = \frac{1}{a} \int \frac{1}{u} d u = \frac{\ln | u |}{a} + C = \frac{\ln | a x + b |}{a} + C

分母次數為2：求 $\int \frac{d x + e}{a x^{2} + b x + c} d x$ 。

若多項式 $a x^{2} + b x + c$ 可分解為兩個一次多項式的積（即 $b^{2} - 4 a c \geq 0$ ），則可用部分分數的方法解決。若多項式不可分解，則將它配方，再用各種替代法解決。

例如：

\int \frac{x + 6}{x^{2} - 8 x + 25} d x .

因為

x^{2} - 8 x + 25 = (x^{2} - 8 x + 16) + 9 = (x - 4)^{2} + 9

考慮

u = x^{2} - 8 x + 25

d u = (2 x - 8) d x

d u / 2 = (x - 4) d x

將分子分解，以便應用上面的替換：

\int \frac{x - 4}{x^{2} - 8 x + 25} d x + \int \frac{10}{x^{2} - 8 x + 25} d x

左邊：

\int \frac{x - 4}{x^{2} - 8 x + 25} d x = \int \frac{d u / 2}{u} = \frac{1}{2} \ln | u | + C = \frac{1}{2} \ln (x^{2} - 8 x + 25) + C

另一邊：

\int \frac{10}{x^{2} - 8 x + 25} d x = \int \frac{10}{(x - 4)^{2} + 9} d x = \int \frac{10 / 9}{{(\frac{x - 4}{3})}^{2} + 1} d x

代入

w = (x - 4) / 3

d w = d x / 3

\frac{10}{3} \int \frac{d w}{w^{2} + 1} = \frac{10}{3} \arctan (w) + C = \frac{10}{3} \arctan (\frac{x - 4}{3}) + C .

另一種可行的代入方法是：

\tan θ = \frac{x - 4}{3},

{(\frac{x - 4}{3})}^{2} + 1 = \tan^{2} θ + 1 = \sec^{2} θ,

d \tan θ = \sec^{2} θ d θ = \frac{d x}{3} .

$\int \frac{10 / 9}{{(\frac{x - 4}{3})}^{2} + 1} d x = 10 / 9 \int \frac{1}{\sec^{2} θ} 3 \sec^{2} θ d θ = \frac{10}{3} \arctan (\frac{x - 4}{3}) + C$

奧斯特羅格拉茨基方法

奧斯特羅格拉茨基方法（Ostrogradsky Algorithm / Ostrogradsky's Method）是這樣的：

設求積的有理函數為 $\frac{P}{Q}$ ，其中 $P, Q$ 是多項式， $\deg (P) < \deg (Q)$ （ $P$ 的次數少於 $Q$ ）。設 $Q_{1}$ 為Q的導數Q'和Q的最大公因數， $Q_{2} = \frac{Q}{Q_{1}}$ 。則有：

\int \frac{P}{Q} d x = \frac{P_{1}}{Q_{1}} + \int \frac{P_{2}}{Q_{2}} d x

其中 $P_{1}, P_{2}$ 為多項式， $\deg (P_{i}) < \deg (Q_{i})$ 。

應用例子

求 $\int \frac{x d x}{(x - 1)^{2} (x + 1)^{3}}$ 。

$Q = (x - 1)^{2} (x + 1)^{3}$
$Q^{'} = 2 (x - 1) (x + 1)^{3} + 3 (x - 1)^{2} (x + 1)^{2} = (x - 1) (x + 1)^{2} (5 x - 1)$
$Q_{1} = g c d (Q, Q^{'}) = (x - 1) (x + 1)^{2}$
$Q_{2} = Q / Q_{1} = (x - 1) (x + 1)$

設 $P_{1} = A x^{2} + B x + C, P_{2} = D x + E$

\int \frac{x d x}{(x - 1)^{2} (x + 1)^{3}} = \frac{A x^{2} + B x + C}{(x - 1) (x + 1)^{2}} + \int \frac{D x + E}{(x - 1) (x + 1)} d x

兩邊取導數：

\frac{x}{(x - 1)^{2} (x + 1)^{3}} = \frac{A x^{3} + (2 B - A) x^{2} + (3 C - B + 2 A) x - C + B}{(x - 1)^{2} (x + 1)^{3}} + \frac{D x + E}{(x - 1) (x + 1)}

通分母，右邊的分子為：

D x^{4} + (E + D - A) x^{3} + (E - D - 2 B + A) x^{2} + (- E - D - 3 C + B - 2 A) x - E + C - B

比較分子的多項式的係數，得 $A = B = E = - 0.125, C = - 0.25, D = 0$ 。於是有

\int \frac{x d x}{(x - 1)^{2} (x + 1)^{3}} = \frac{x^{2} + x + 2}{8 (1 - x) (x + 1)^{2}} + \int \frac{d x}{8 (x - 1) (x + 1)}

後者可用部分分數的方法求得。

證明

\int \frac{P}{Q} d x = \frac{P_{1}}{Q_{1}} + \int \frac{P_{2}}{Q_{2}} d x

\frac{P}{Q} = \frac{P'_{1} - \frac{Q'_{1} P_{1}}{Q_{1}}}{Q_{1}} + \frac{P_{2}}{Q_{2}}

兩邊乘以 $Q$

P = P'_{1} Q_{2} - \frac{Q'_{1} Q_{2} P_{1}}{Q_{1}} + P_{2} Q_{1}

由於 $Q'_{1} Q_{2} = Q^{'} - Q_{1} Q'_{2}$ ，而 $Q^{'}$ 和 $Q_{1} Q'_{2}$ 都是 $Q_{1}$ 的倍數，所以 $\frac{Q'_{1} Q_{2} P_{1}}{Q_{1}}$ 是多項式。

比較兩邊多項式的次數：

$\deg (P) \leq \deg (Q) - 1$
$\deg (P'_{1} Q_{2} \leq (\deg (Q_{1}) - 1) + (\deg (Q) - \deg (Q_{1})) = \deg (Q) - 1$
$\deg (\frac{Q'_{1} Q_{2} P_{1}}{Q_{1}}) \leq (\deg (Q_{1}) - 1) + (\deg (Q) - \deg (Q_{1})) + (\deg (Q_{1}) - 1) - \deg (Q_{1}) = \deg (Q) - 2$
$\deg (P_{2} Q_{1}) \leq (\deg (Q) - \deg (Q_{1}) - 1) + \deg (Q_{1}) = \deg (Q) - 1$

因此 $P_{1}, P_{2}$ 有解。

Hermite方法

應用

參考

有理函數

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部分分式

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