转置矩阵

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矩陣A的轉置A^T的取得方法。重覆以上動作會得出原本的矩陣

在線性代數中，矩陣A的轉置（Template:Lang-en）是另一个矩陣A^T（也寫做A^tr, ^tA, A^t或A′）由下列等價動作建立：

• 把A的行寫為A^T的列
• 把A的列寫為A^T的行

形式上說，m × n矩陣A的轉置是n × m矩陣

$A_{ij}^{\mathrm{T}}=A_{ji}$ for $1\le i\le n,$ $1\le j\le m$。

注意：${𝐀}^{\mathrm{T}}$（轉置矩陣）與${𝐀}^{-1}$（逆矩陣）不同。

例子

• ${\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}=\left[\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 4\end{array}\right]$
• ${\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\\ 5& 6\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}=\left[\begin{array}{ccc}1& 3& 5\\ 2& 4& 6\end{array}\right]$

性质

对于矩阵A, B和标量c转置有下列性质：

• ${\left(A^{\mathrm{T}}\right)}^{\mathrm{T}}=A$

  转置是自身逆运算。

• $(A+B{)}^{\mathrm{T}}=A^{\mathrm{T}}+B^{\mathrm{T}}$

  转置是从m × n矩阵的向量空间到所有n × m矩阵的向量空间的线性映射。

• ${\left(AB\right)}^{\mathrm{T}}=B^{\mathrm{T}}{A}^{\mathrm{T}}$

  注意因子反转的次序。以此可推出方块矩阵A是可逆矩阵，当且仅当A^T是可逆矩阵，在这种情况下有 (A⁻¹)^T = (A^T)⁻¹。相对容易的把这个结果扩展到矩阵相乘的一般情况，可得出 (ABC...XYZ)^T = Z^TY^TX^T...C^TB^TA^T。

• $(cA{)}^{\mathrm{T}}=c{A}^{\mathrm{T}}$

  标量的转置是同样的标量。

• $\det (A^{\mathrm{T}})=\det (A)$

  矩阵的转置矩阵的行列式等于这个矩阵的行列式。

• 两个纵列向量a和b的內積可计算为

  $𝐚\cdot 𝐛={𝐚}^{\mathrm{T}}𝐛$

• 如果A只有实数元素，则A^TA是半正定矩阵。
• 如果A是在某个域上，则A 相似于A^T。

特殊转置矩阵

其转置等于自身的方块矩阵叫做对称矩阵；就是说A是对称的，如果

$A^{\mathrm{T}}=A$。

其转置也是它的逆矩阵的方块矩阵叫做正交矩阵；就是说G是正交的，如果

$G{G}^{\mathrm{T}}=G^{\mathrm{T}}G=I_n,$ I是单位矩阵。

其转置等于它的负矩阵的方块矩阵叫做斜对称矩阵；就是A是斜对称的，如果

$A^{\mathrm{T}}=-A$。

复数矩阵A的共轭转置，写为A^H，是A的转置后再取每个元素的共轭复数:

$A^H=(\bar{A}{)}^{\mathrm{T}}=\overline{(A^{\mathrm{T}})}$

线性映射的转置

如果f: V→W是在向量空间V和W之间非退化双线性形式的线性映射，我们定义f的转置为线性映射^tf : W→V，确定自

$B_V(v,{}^{t}f(w))=B_W(f(v),w)\mathrm{\forall }v\in V,w\in W$

这裡的，B_V和B_W分别是在V和W上的双线性形式。一个映射的转置的矩阵是转置矩阵，只要基是关于它们的双线性形式是正交的。

在复向量空间上，经常用到半双线性形式来替代双线性形式。在这种空间之间的映射的转置可类似的定义，转置映射的矩阵由共轭转置矩阵给出，如果基是正交的。在这种情况下，转置也叫做埃尔米特伴随。

如果V和W没有双线性形式，则线性映射f: V→W的转置只能定义为在对偶空间W和V之间的线性映射 ^tf : W^*→V^*。

外部链接

• MIT Video Lecture on Matrix Transposes at Google Video, from MIT OpenCourseWare
• Transpose Template:Wayback, mathworld.wolfram.com
• Transpose Template:Wayback, planetmath.org