參數方程

用参数方程可以很容易表示出的蝶形线

參數方程（Template:Lang-en）和函數相似，都是由一些在指定的集合的數，稱為參數或自變數，以決定因變數的結果。例如在運動學，參數通常是「時間」，而方程的結果是速度、位置等。

一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标$x$、$y$都是某个变数$t$的函数：

$\{\begin{array}{c}x=f(t)\\ y=g(t)\end{array}$

并且对于$t$的每一个允许的取值，由方程组确定的点$(x,y)$都在这条曲线上，那么这个方程就叫做曲线的参数方程，联系变数$x$、$y$的变数$t$叫做参变数，简称参数。相对而言，直接给出点坐标间关系的方程叫普通方程。

例子

$x=a\cos (t),y=a\sin (t)$，表示了平面上半徑為$a$、以原點為圓心的圓。在三維，加入$z=bt$，便是螺旋的圖形。這些式子可以表示成：

$r(t)=(x(t),y(t),z(t))=(a\cos (t),a\sin (t),bt)$

如果有一個粒子，沿這個螺旋的路徑而行，直接微分上面的式子便會得到粒子的速度：

$v(t)=r^{\prime }(t)=(x^{\prime }(t),y^{\prime }(t),z^{\prime }(t))=(-a\sin (t),a\cos (t),b)$

及加速度：

$a(t)=r^{″}(t)=(x^{″}(t),y^{″}(t),z^{″}(t))=(-a\cos (t),-a\sin (t),0)$

參數曲線亦可以是多於一個參數的函數。例如參數表面是兩個參數$(s,t)$或$(u,v)$的函數。

譬如一個圓柱：

$r(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))=(a\cos (u),a\sin (u),v)$

参数是参变数的简称。它是研究运动等一类问题中产生的。质点运动时，它的位置必然与时间有关系，也就是说，质的坐标$x$，$y$与时间$t$之间有函数关系$x=f(t)$，$y=g(t)$，这两个函数式中的变量$t$，相对于表示质点的几何位置的变量$x$，$y$来说，就是一个“参与的变量”。这类实际问题中的参变量，被抽象到数学中，就成了参数。我们所学的参数方程中的参数，其任务在于沟通变量$x$，$y$及一些常量之间的联系，为研究曲线的形状和性质提供方便。

用参数方程描述运动规律时，常常比用普通方程更为直接简便。对于解决求最大射程、最大高度、飞行时间或轨迹等一系列问题都比较理想。有些重要但较复杂的曲线（例如圆的渐开线），建立它们的普通方程比较困难，甚至不可能，列出的方程既复杂又不易理解，如圆的渐开线的普通方程。

根据方程画出曲线十分费时；而利用参数方程把两个变量$x$，$y$间接地联系起来，常常比较容易，方程简单明确，且画图也不太困难。

常见参数方程

• 直线：
  • 点斜式过$(x_0,y_0)$，斜率为$m$的直线: $\{\begin{array}{c}x=x_0+t\\ y=y_0+mt\end{array}$
  • 点向式过$(x_0,y_0)$, 方向向量为$(u,v)$的直线：$\{\begin{array}{c}x=x_0+ut\\ y=y_0+vt\end{array}$
• 圆：$\{\begin{array}{c}x=r\cos t\\ y=r\sin t\end{array}$
• 椭圆：$\{\begin{array}{c}x=a\cos t\\ y=b\sin t\end{array}$
• 双曲线：$\{\begin{array}{c}x=a\sec t\\ y=b\tan t\end{array}$
• 抛物线：$\{\begin{array}{c}x=2ct\\ y=t^2\end{array}$
• 螺线：$\{\begin{array}{c}x=t\cos lt\\ y=t\sin lt\end{array}$
• 摆线：$\{\begin{array}{c}x=r\cdot (t-\sin t)\\ y=r\cdot (1-\cos t)\end{array}$

注：上文中的$a,b,c,h,k,l,m,p,r,x_0,y_0,u,v$为已知数，$t$都为参数，$x$，$y$为变量

參見

• 隱方程
• 極坐標系