有理数

實數（ℝ）包括有理數（ℚ），其中包括整數（ℤ），其中包括自然數（ℕ）

在数学中，可以表达为两个整数比的数（$\frac{a}{b}$, $b\ne 0$）被定义为有理数（Template:Lang-en），例如$\frac{3}{8}$，0.75（可被表达为$\frac{3}{4}$）；整数和整数分数统称为有理数。

与有理数相對的是无理数，不是有理數的實數遂稱為無理數。如$\sqrt{2}$无法用整数比表示。有理数与分數形式的区别，分數形式是一种表示比的记法，如分數形式$\frac{\sqrt{2}}{2}$是无理数，所以要並非所有以分數表示的數字皆為有理數（例如 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 並不是有理數）。

所有有理数構成的集合常寫作 $𝐐$ 或 $\mathbb{Q}$，其定义為：

$\mathbb{Q}=\{\frac{m}{n}:m,n\in \mathbb{Z},n\ne 0\}$

有理数寫作小数時，其小数部分有限或为循环。

词源

有理数在英文中称作rational number，来自拉丁语rationalis，意为理性的；词根ratio，拉丁语意为理性、计算。代表“比例”的英文ratio一词在历史上出现得要比有理数（rational number）一词更晚，前者最早有记录是1660，而后者是1570年。

运算

有理数集对加、减、乘、除四则运算是封闭的（其中除法的除數不能為 0），亦即有理數加、减、乘、除有理數的結果仍為有理數。有理数的加法和乘法如下：

$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}\frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$

两个有理数 $\frac{a}{b}$ 和 $\frac{c}{d}$ 相等的充要條件為 $ad=bc$。

有理数中存在加法反元素與乘法反元素（除了 0 以外，0 不具乘法反元素）：

$-\left(\frac{a}{b}\right)=\frac{-a}{b}a\ne 0$时，${\left(\frac{a}{b}\right)}^{-1}=\frac{b}{a}$

两数相乘，同号得正异号得负，并把绝对值相乘。

古埃及分数

Template:Main 古埃及分数是分子为1、分母为正整数的有理数。每个有理数都可以表达为有限个两两不等的古埃及分数的和。例如：

$\frac{5}{7}=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{21}$

对于给定的正有理数，存在无穷多种表达成有限个两两不等的古埃及分数之和的方法。

形式构建

数学上可以将有理数定义为建立在整数的有序对上$(a,b)$的等价类，这里$b,d$不为零。我们可以对这些有序对定义加法和乘法，规则如下：

$(a,b)+(c,d)=(ad+bc,bd)$

$(a,b)\times (c,d)=(ac,bd)$

为了使$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，定义等价关系$\sim$如下：

$(a,b)\sim (c,d)\text{ iff }ad=bc$

这种等价关系与上述定义的加法和乘法上是一致的，而且可以将Q定义为整数有序对关于等价关系~的商集：$\mathbb{Q}=\mathbb{Z}\times (\mathbb{Z}-\{0\})/\sim$。例如：两个对$(a,b)$和$(c,d)$是相同的，如果它们满足上述等式。（这种构建可用于任何整数环，参见商域。）

定義大小

Q上的大小可以定义为：

$(a,b)\le (c,d)$当且仅当下列任一條件成立：

1. $bd>0$并且$ad\le bc$
2. $bd<0$并且$ad\ge bc$

然後$x<y$是指$x\le y$但$y\nleqq x$。亦可在“小于”概念之上引入“大于”的概念，即：$a<b$当且仅当$b>a$。此排序中，每一对有理数$a,b$之间皆可比較，必有且仅有以下关系之一：

$a=b$，$a>b$，$a<b$。

又滿足传递性：若$a<b$，且$b<c$，则$a<c$。所以以上定義的大小關係是全序关系。

有理數集的序還滿足Template:Le：若$a<b$，则必存在有理数$c$，满足$a<c$，且$c<b$。

性质

创建缩略图出错：

有理数集是可数的

集合$\mathbb{Q}$，以及上述的加法和乘法运算，构成域，即整数$\mathbb{Z}$的商域。

有理数是特征为0的域最小的一个：所有其他特征为0的域都包含$\mathbb{Q}$的一个拷贝（即存在一个从$\mathbb{Q}$到其中的同构映射）。

$\mathbb{Q}$的代数闭包，例如有理数多项式的根的域，是代数数域。

所有有理数的集合是可数的，亦即是說$\mathbb{Q}$的基數（或勢）與自然數集合$\mathbb{N}$相同，都是阿列夫數${\mathrm{\aleph }}_0$，這是因為可以定義一個從有理數集$\mathbb{Q}$映至自然數集合的笛卡爾積$\mathbb{N}\times \mathbb{N}$的單射函數，而$\mathbb{N}\times \mathbb{N}$是可數集合之故。因为所有实数的集合是不可数的，所以从勒贝格测度来看，可以认为绝大多数实数不是有理数。

有理数的序是个Template:Le：任何两个有理数之间存在另一个有理数，事实上是存在无穷多个。此外，有理數集也沒有最大和最小元素，所以是無端點的可數稠密全序（Template:Lang）。Template:Le說明，任何無端點的可數稠密全序必定序同構於有理數的序，換言之，若不辨同構之異，則有理數的大小序是唯一具此性質的序結構。

实数

有理数是实数的稠密子集：每个实数都有任意接近的有理数。一个相关的性质是，僅有理数可化為有限连分数。

依照它们的序列，有理数具有一个序拓扑。有理数是实数的（稠密）子集，因此它同时具有一个子空间拓扑。采用度量$d(x,y)=|x-y|$，有理数构成一个度量空间，这是$\mathbb{Q}$上的第三个拓扑。幸运的是，所有三个拓扑一致并将有理数转化到一个拓扑域。有理数是非局部紧致空间的一个重要的实例。这个空间也是完全不连通的。有理数不构成完备的度量空间；实数是$\mathbb{Q}$的完备集。

p进数

除了上述的绝对值度量，还有其他的度量将$\mathbb{Q}$转化到拓扑域：

设$p$是素数，对任何非零整数$a$设$|a{|}_p=p^{-n}$，这里$p^n$是整除$a$的$p$的最高次幂；

另外$|0{|}_p=0$。对任何有理数$\frac{a}{b}$，设${\left|\frac{a}{b}\right|}_p=\frac{|a{|}_p}{|b{|}_p}$。

则$d_p(x,y)=|x-y{|}_p$在$\mathbb{Q}$上定义了一个度量。

度量空间$(\mathbb{Q},d_p)$不完备，它的完备集是p进数域${\mathbb{Q}}_p$。

参见

• 浮点数
• 尼云定理