密度矩陣

Template:NoteTA Template:量子力学

從白熾燈（1）發射出的光子處於完全隨機偏振混合態（2），密度矩陣為
$\left[\begin{array}{cc}0.5& 0\\ 0& 0.5\end{array}\right]$ 。
通過垂直平面偏振器（3）之後，光子處於垂直偏振純態（4），密度矩陣為
$\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right]$ 。

在量子力學裏，密度算符（Template:Lang-en）與其對應的密度矩陣（Template:Lang-en）專門描述混合態量子系統的物理性質。純態是一種可以直接用態向量 $|\psi ⟩$ 來描述的量子態，混合態則是由幾種純態依照統計機率組成的量子態。假設一個量子系統處於純態 $|{\psi }_1⟩$ 、$|{\psi }_2⟩$ 、$|{\psi }_3⟩$ 、……的機率分別為 $w_1$ 、$w_2$ 、$w_3$ 、……，則這混合態量子系統的密度算符 $\rho$ 為

$\rho =\sum _i{w}_i|{\psi }_i⟩⟨{\psi }_i|$ 。

注意到所有機率的總和為1：

$\sum _i{w}_i=1$ 。

假設 $\{|b_i⟩,i=1,2,3,\dots ,n\}$ 是一組規範正交基，則對應於密度算符的密度矩陣 $\varrho$ ，其每一個元素 ${\varrho }_{ij}$ 為

${\varrho }_{ij}=⟨b_i|\rho |b_j⟩=\sum _k{w}_k⟨b_i|{\psi }_k⟩⟨{\psi }_k|b_j⟩$ 。

對於這量子系統，可觀察量 $A$ 的期望值為

$⟨A⟩=\sum _i{w}_i⟨{\psi }_i|A|{\psi }_i⟩=\sum _i⟨b_i|\rho A|b_i⟩=\mathrm{tr}(\rho A)$ ，

是可觀察量 $A$ 對於每一個純態的期望值 $⟨{\psi }_i|A|{\psi }_i⟩$ 乘以其權值 $w_i$ 後的總和。

混合態量子系統出現的案例包括，處於熱力學平衡或化學平衡的系統、製備歷史不確定或隨機變化的系統（因此不知道到底系統處於哪個純態）。假設量子系統處於由幾個糾纏在一起的子系統所組成的純態，則雖然整個系統處於純態，每一個子系統仍舊可能處於混合態。在量子退相干理論裏，密度算符是重要理論工具。

密度算符是一種線性算符，是自伴算符、非負算符（Template:Lang-en）、跡數為1的算符。關於密度算符的數學形式論是由約翰·馮·諾伊曼與列夫·郎道各自獨立於1927年給出。Template:Rp

純態與混合態

假設一個量子系統的量子態是純態，則這量子態可以用態向量表示為 $|\psi ⟩$ 。幾種純態依照機率組成的量子態稱為混合態。例如，假設一個量子系統處於純態 $|{\psi }_1⟩$ 、$|{\psi }_2⟩$ 的機率都為50%，則這量子系統處於混合態。密度矩陣專門用來表示混合態。任何量子態，不管是純態，還是混合態，都可以用密度矩陣表示。

混合態與疊加態的概念不同，幾種純態通過量子疊加所組成的疊加態仍舊是純態。例如，$(|{\psi }_1⟩+|{\psi }_2⟩)/\sqrt{2}$ 是個純態。

光子偏振案例

Template:Multiple image 光子的兩種圓偏振態，右旋圓偏振態與左旋圓偏振態，分別以態向量 $|R⟩$ 、$|L⟩$ 標記。光子也可能處於疊加態，例如，垂直偏振態與水平偏振態分別為 $(|R⟩+|L⟩)/\sqrt{2}$ 、$(|R⟩-|L⟩)/\sqrt{2}$ 。更一般地，光子偏振所處於的疊加態可以表示為 $\alpha |R⟩+\beta |L⟩$ ；其中，$\alpha$ 、$\beta$ 是係數。這一般式可以表示平面偏振態、圓偏振態、橢圓偏振態等等。

假若讓處於疊加態 $(|R⟩+|L⟩)/\sqrt{2}$ 的光子通過左旋圓偏振器，則出射的光子處於左旋圓偏振態 $|L⟩$ ；假若通過右旋圓偏振器，則出射的光子處於右旋圓偏振態 $|R⟩$ 。對於這兩種圓偏振模，光子強度都會減半，貌似意味著疊加態 $(|R⟩+|L⟩)/\sqrt{2}$ 的一半光子處於量子態 $|R⟩$ ，另一半處於量子態 $|L⟩$ ，但這種解釋並不正確，處於量子態 $|R⟩$ 與 $|L⟩$ 的光子都有可能被垂直平面偏振器吸收，但是處於量子態 $(|R⟩+|L⟩)/\sqrt{2}$ 的光子不會被垂直平面偏振器吸收。

從白熾燈發射出的光子是一種非偏振態光子，不能用疊加態 $\alpha |R⟩+\beta |L⟩$ 來描述。特別而言，與平面偏振態光子不同，它通過任何偏振器後都會失去50%強度，與圓偏振態光子不同，使用波片（waveplate）不能直接將它改變為平面偏振態光子。非偏振態光子可以描述為，處於 $|R⟩$ 的機率是50%，處於 $|L⟩$ 的機率是50%。它也可以描述為，處於垂直偏振態的機率是50%，處於水平偏振態的機率是50%。

非偏振態光子的量子態不是純態，而是由幾種純態依照統計機率組成。它可以由50%右旋圓偏振態與50%左旋圓偏振態組成，或者，它可以由50%垂直偏振態與50%水平偏振態組成。這兩種組合無法做實驗辨識區分，因此它們被視為同樣的混合態。密度算符含有混合態的所有資料，足夠計算任何關於混合態的可測量性質。

混合態到底源自何處？試想非偏振態光子是怎樣製成的。一種方法是利用處於動力學平衡的系統，這系統擁有很多個微觀態（microstate），伴隨每一個微觀態都有其發生的機率（波茲曼因子），它們會因熱力學漲落（thermal fluctuation）從一個微觀態變換到另一個微觀態。熱力學隨機性可以解釋白熾燈怎樣發射非偏振光子。另一種方法是引入不確定性於系統的製備程序，例如，將光束通過表面粗糙的雙折射晶體，使得光束的不同部分獲得不同偏振。第三種方法應用EPR機制，有些放射性衰變會發射兩個光子朝著反方向移動離開，這糾纏系統的量子態為 $(|R,L⟩+|L,R⟩)/\sqrt{2}$ ，整個系統是處於純態，但是每一個光子子系統的物理行為如同非偏振態光子，從分析光子子系統的約化密度算符，可以得到這結論。

一般而言，混合態時常會出現於幾種純態的統計性混合（例如熱力學平衡）、製備程序的不確定性（例如光子可能移動於稍微不同路徑）、包含在糾纏系統內的子系統（例如EPR機制）。

數學表述

純態

Template:參見 假設一個量子系統的量子態是純態，則這量子態可以用態向量表示為 $|\psi ⟩$ ，對應的密度算符定義為Template:Rp

$\rho \stackrel{def}{=}|\psi ⟩⟨\psi |$ 。

從密度算符的形式，可以推論密度算符是自伴算符：

${\rho }^{†}=(|\psi ⟩⟨\psi |{)}^{†}=|\psi ⟩⟨\psi |=\rho$ 。

假設，物理量 $A$ 是這量子系統的可觀察量，其本徵值為 $a_i$ 的本徵態 $|a_i⟩,i=1,2,3,\cdots ,n$ 形成一個規範正交基 $\{|a_i⟩\}$ ，則對可觀察量 $A$ 做測量得到 $a_i$ 的機率 $𝒫(a_i)$為Template:Rp

$\begin{array}{cc}𝒫(a_i)& \stackrel{def}{=}|⟨a_i|\psi ⟩{|}^2=⟨a_i|\psi ⟩⟨\psi |a_i⟩\\ & =\sum _k⟨a_k|a_i⟩⟨a_i|\psi ⟩⟨\psi |a_k⟩\\ & =\sum _k⟨a_k|\mathrm{\Lambda }(a_i)\rho |a_k⟩\\ & =\text{tr}(\mathrm{\Lambda }(a_i)\rho )\\ \end{array}$ ；

其中，$\mathrm{\Lambda }(a_i)\stackrel{def}{=}|a_i⟩⟨a_i|$ 是對應於本徵態 $|a_i⟩$ 的投影算符，$\text{tr}()$ 是跡數。

做實驗測量可觀察量 $A$ 獲得的期望值為

$\begin{array}{cc}⟨A⟩& \stackrel{def}{=}\sum _i{a}_i𝒫(a_i)=\sum _i{a}_i⟨a_i|\psi ⟩⟨\psi |a_i⟩\\ & =\sum _i{a}_i⟨a_i|\rho |a_i⟩=\sum _i⟨a_i|A\rho |a_i⟩=\text{tr}(A\rho )\\ \end{array}$ 。

這種可觀察量的期望值與跡數運算之間的關係稱為跡定則（trace rule）。Template:Rp對於不同的規範正交基，跡數是個不變量。採用任何規範正交基，都可以計算出同樣跡數。另外，機率公式與期望值公式對於密度算符都具有線性，這是很優良的性質，這意味著機率公式與期望值公式也適用於幾個密度算符的線性組合。

由於 $|\psi ⟩$ 被歸一化， 密度算符的跡數為1：

$\begin{array}{cc}\text{tr}(\rho )& =\text{tr}(|\psi ⟩⟨\psi |)=\sum _i⟨a_i|\psi ⟩⟨\psi |a_i⟩\\ & =\sum _i⟨\psi |a_i⟩⟨a_i|\psi ⟩=⟨\psi |\psi ⟩=1\\ \end{array}$ 。

對於任意歸一化量子態 $\varphi$ ，

$0\le ⟨\varphi |\rho |\varphi ⟩=⟨\varphi |\psi ⟩⟨\psi |\varphi ⟩=|⟨\varphi |\psi ⟩{|}^2\le 1$ ，

所以，密度算符是非負算符（nonnegative operator）。

混合態

將先前純態密度算符的定義式加以延伸，假設在一個量子系統處於純態 $|{\psi }_1⟩$ 、$|{\psi }_2⟩$ 、$|{\psi }_3⟩$ 、……的機率分別為 $w_1$ 、$w_2$ 、$w_3$ 、……，則這混合態量子系統的密度算符 $\rho$ 為Template:Rp

$\rho \stackrel{def}{=}\sum _i{w}_i|{\psi }_i⟩⟨{\psi }_i|$ 。

每一個機率都是非負實值，所有機率的總和為1：

$0\le w_i\le 1$ ，

$\sum _i{w}_i=1$ 。

按照「無知詮釋」，這種量子系統確定是處於某個純態${\psi }_i$，但是無法知道到底是哪一個純態。這種可以用無知詮釋來論述的量子系統稱為「真混合物」（proper mixture），否則，稱為「瑕混合物」（improper mixture）。

回想在純態段落裏，機率公式與期望值公式對於密度算符都具有線性，這意味著對於混合態的密度算符，這些公式也都適用。加以延伸後的密度算符，也具有先前純態的密度算符所擁有的性質：

• 密度算符是自伴算符：$\rho ={\rho }^{†}$ 。
• 密度算符的跡數為1：$\text{tr}(\rho )=1$ 。
• 對可觀察量 $A$ 做測量得到 $a_i$ 的機率為 $𝒫(a_i)=\text{tr}(\mathrm{\Lambda }(a_i)\rho )$ 。
• 做實驗測量可觀察量 $A$ 獲得的期望值為 $⟨A⟩=\text{tr}(A\rho )$ 。
• 密度算符是非負算符：$0\le ⟨\varphi |\rho |\varphi ⟩\le 1$ 。

由於密度算符 $\rho$ 是自伴算符，它具有譜表示

$\rho =\sum _i{a}_i|a_i⟩⟨a_i|$ ；

其中，$|a_i⟩$ 是本徵值為 $a_i$ 的本徵態，所有 $|a_i⟩$ 形成一個規範正交基。

按照自伴算符的定義，每一個本徵值 $a_i$ 是它自己的共軛：

$a_i=a_i^{*}$ 。

由於密度算符 $\rho$ 是非負算符，每一個本徵值 $a_i$ 都是非負值。

由於密度算符 $\rho$ 的跡數為1，

$\sum _i{a}_i=1$ 。

給定一個量子系統，其所有可能的密度算符組成一個凸集。假設 ${\rho }_i,i=1,2,3,...,n$ 屬於這凸集，則 $\rho =\sum _i{c}_i{\rho }_i$ 也屬於這凸集；其中，$0\le c_i\le 1$ 是係數，$\sum _i{c}_i=1$ 。Template:Rp

用密度算符辨認純態與混合態

由於純態的密度算符定義式為Template:Rp

$\rho \stackrel{def}{=}|\psi ⟩⟨\psi |$ ，

所以純態的密度算符具有特徵

• ${\rho }^2=\rho$ 。
• $\text{tr}({\rho }^2)=\text{tr}(\rho )=1$ 。

否則，非純態的密度算符遵守關係式

$\text{tr}({\rho }^2)<\text{tr}(\rho )=1$ 。

另外，將純態的密度矩陣 $\varrho$ 對角化後，只能有一個對角元素等於1，其它對角元素都等於0，例如，一種形式為Template:Rp

$\varrho =\left[\begin{array}{ccccc}0& 0& 0& \cdots & 0\\ 0& 1& 0& \cdots & 0\\ 0& 0& 0& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & 0\end{array}\right]$ 。

量子態的Template:Le$\gamma$ 定義為

$\gamma =\text{tr}({\rho }^2)$ 。

純態的純度為1。處於N維希爾伯特空間、完全混合的混合態，其對角元素的數值為$1/N$ 、非對角元素的數值為0，其純度為$1/N$ 。Template:Rp

馮諾伊曼熵是另一種描述量子態混合程度的量度。

連續性本徵態基底

位置是一種連續性可觀察量，具有連續性本徵值譜，用這種可觀察量的連續性本徵態為基底，密度矩陣 $\varrho$ 含有兩個位置參數 $x^{\prime }$ 、$x^{″}$ ：Template:Rp

$\varrho (x^{\prime },x^{″})=\sum _i{w}_i{\psi }_i(x^{\prime }){\psi }_i^{*}(x^{″})$ 。

可觀察量 $A$ 的期望值為

$⟨A⟩=\text{tr}(A\rho )=\int \mathrm{d}{x}^{\prime }\int \mathrm{d}{x}^{″}⟨x^{\prime }|A|x^{″}⟩⟨x^{″}|\rho |x^{\prime }⟩$ 。

複合系統

假設密度算符為 $\rho$ 的複合系統是由兩個子系統 $A$ 、$B$ 組成，這兩個子系統的物理行為分別由其對應約化密度算符（reduced density operator） ${\rho }_A$ 、${\rho }_B$ 描述：Template:Rp

${\rho }_A={\text{tr}}_B(\rho )$ 、

${\rho }_B={\text{tr}}_A(\rho )$ ；

其中，${\text{tr}}_B$ 、${\text{tr}}_A$ 分別是對於子系統$B$ 、$A$ 的偏跡數（partial trace）。

這複合系統的兩個子系統之間沒有任何關聯（沒有任何量子關聯或經典關聯），若且唯若 $\rho$ 是 ${\rho }_A$ 與 ${\rho }_B$ 的張量積：

$\rho ={\rho }_A\otimes {\rho }_B$ 。

約化密度算符

約化密度算符最先由保羅·狄拉克於1930年提出。假設兩個希爾伯特空間$H_A$、$H_B$的規範正交基分別為$\{|a_i{⟩}_A\}$、$\{|b_j{⟩}_B\}$，分別在這兩個希爾伯特空間$H_A$、$H_B$的兩個子系統$A$、$B$所組成的複合系統，其量子態為純態$|\psi ⟩$，其密度算符$\rho$為

$\rho =|\psi ⟩⟨\psi |$。

取密度算符$\rho$對於子系統$B$的偏跡數，可以得到子系統$A$的約化密度算符${\rho }_A$：

${\rho }_A\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\sum _j⟨b_j{|}_B(|\psi ⟩⟨\psi |)|b_j{⟩}_B={\text{tr}}_B(\rho )$。

例如，糾纏態$|\psi {⟩}_{AB}=(|0{⟩}_A\otimes |1{⟩}_B-|1{⟩}_A\otimes |0{⟩}_B)/\sqrt{2}$，其子系統$A$的約化密度算符${\rho }_A$為

${\rho }_A=\frac{1}{2}(|0{⟩}_A⟨0{|}_A+|1{⟩}_A⟨1{|}_A)$。

如同預想，這公式演示出，子系統$A$的約化密度算符${\rho }_A$為混合態。

範例

設定斯特恩-革拉赫實驗儀器的磁場方向為z-軸，入射的銀原子束可以被分裂成兩道銀原子束，每一道銀原子束代表一種量子態，上旋$|\uparrow ⟩$或下旋$|\downarrow ⟩$。

如右圖所示，使用z-軸方向的斯特恩-革拉赫實驗儀器，可以將入射的銀原子束，依照自旋的z-分量 $S_z$ 分裂成兩道，一道的 $S_z$ 為上旋，標記為 $|z+⟩$ ，另一道的 $S_z$ 為下旋，標記為 $|z-⟩$ 。

z-軸方向

• 態向量：$|z+⟩=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$ 。

密度矩陣：${\varrho }_{z+}=|z+⟩⟨z+|=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right]$ 。

• 態向量：$|z-⟩=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$ 。

密度矩陣：${\varrho }_{z-}=|z-⟩⟨z-|=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}0& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$ 。

x-軸方向

• 態向量：$|x+⟩=\left[\begin{array}{c}\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right]$ 。

密度矩陣：${\varrho }_{x+}=|x+⟩⟨x+|=\left[\begin{array}{c}\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right]$ 。

• 態向量：$|x-⟩=\left[\begin{array}{c}\frac{1}{\sqrt{2}}\\ -\frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right]$ 。

密度矩陣：${\varrho }_{x-}=|x-⟩⟨x-|=\left[\begin{array}{c}\frac{1}{\sqrt{2}}\\ -\frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{\sqrt{2}}& -\frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\\ -\frac{1}{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right]$ 。

y-軸方向

• 態向量：$|y+⟩=\left[\begin{array}{c}\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{i}{\sqrt{2}}\end{array}\right]$ 。

密度矩陣：${\varrho }_{y+}=|y+⟩⟨y+|=\left[\begin{array}{c}\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{i}{\sqrt{2}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{\sqrt{2}}& -\frac{i}{\sqrt{2}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& -\frac{i}{2}\\ \frac{i}{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right]$ 。

• 態向量：$|y-⟩=\left[\begin{array}{c}\frac{1}{\sqrt{2}}\\ -\frac{i}{\sqrt{2}}\end{array}\right]$ 。

密度矩陣：${\varrho }_{y-}=|y-⟩⟨y-|=\left[\begin{array}{c}\frac{1}{\sqrt{2}}\\ -\frac{i}{\sqrt{2}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{i}{\sqrt{2}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& \frac{i}{2}\\ -\frac{i}{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right]$ 。

完全隨機粒子束

完全隨機粒子束的量子態不是純態，它可以由50% $|z+⟩$ 純態與50% $|z-⟩$ 純態組成：

$\varrho =\frac{1}{2}{\varrho }_{z+}+\frac{1}{2}{\varrho }_{z-}=\frac{1}{2}[\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right]]=\left[\begin{array}{cc}0.5& 0\\ 0& 0.5\end{array}\right]$ 。

它也可以由50% $|x+⟩$ 純態與50% $|x-⟩$ 純態組成：

$\varrho =\frac{1}{2}{\varrho }_{x+}+\frac{1}{2}{\varrho }_{x-}=\frac{1}{2}[\left[\begin{array}{cc}0.5& 0.5\\ 0.5& 0.5\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}0.5& -0.5\\ -0.5& 0.5\end{array}\right]]=\left[\begin{array}{cc}0.5& 0\\ 0& 0.5\end{array}\right]$ 。

另外，它還可以由50% $|y+⟩$ 純態與50% $|y-⟩$ 純態組成，因此可見，不同的組合仍可得到同樣的混合態。

一般而言，完全隨機粒子束的 $N\times N$ 密度矩陣 $\varrho$ ，經過對角化之後，可以寫為Template:Rp

$\varrho =\frac{1}{N}\left[\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& \cdots & 0\\ 0& 1& 0& \cdots & 0\\ 0& 0& 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & 1\end{array}\right]$ 。

热平衡态

对于一组能量本征态$|{\psi }_n⟩$，热平衡下的混态：

$\rho =\sum _n{\omega }_n|{\psi }_n⟩⟨{\psi }_n|$

其中$p_n=\exp (-E_n/kT)/Z$，以及$Z=\sum _n\exp (-E_n/kT)$是配分函数。对于不含时哈密顿算符，热平衡的混态是不随时间演化的。

馮諾伊曼方程式

Template:See also 薛丁格方程式描述純態怎樣隨著時間流逝而演化，馮諾伊曼方程式描述密度算符怎樣隨著時間流逝而演化。實際而言，這兩種方程式等價，因為它們彼此都可以推導出對方。假設，在時間 $t_0$ ，量子系統的密度算符為

$\rho (t_0)=\sum _i{w}_i|{\psi }_i(t_0)⟩⟨{\psi }_i(t_0)|$ ；

其中，量子系統在時間 $t_0$ 處於純態 $|{\psi }_i(t_0)⟩$ 的機率是 $w_i$

假若不攪擾這量子系統，則機率 $w_i$ 跟時間無關。在時間 $t$ ，純態 $|{\psi }_i(t)⟩$ 遵守含時薛丁格方程式

$i\hslash \frac{\partial }{\partial t}|{\psi }_i(t)⟩=H|{\psi }_i(t)⟩$ ，

其中，$\hslash$ 是約化普朗克常數，$H$ 是哈密頓算符。

所以，馮諾伊曼方程式表示為

$\begin{array}{cc}i\hslash \frac{\partial }{\partial t}\rho (t)& =\sum _i{w}_i(H|{\psi }_i(t)⟩⟨{\psi }_i(t)|-|{\psi }_i(t)⟩⟨{\psi }_i(t)|H)\\ & =-[\rho ,H]\\ \end{array}$ ；

其中，方括弧代表對易算符。

注意到只有當採用薛丁格繪景時（必須採用薛丁格繪景來計算密度算符）這方程式才成立，雖然這方程式看起來很像海森堡繪景的海森堡方程式，唯一差別是關鍵的正負號：

$\frac{d{A}^{(H)}}{dt}=-\frac{i}{\hslash }[A^{(H)},H]$ ；

其中，$A^{(H)}$ 是某種採用海森堡繪景的算符。

在海森堡繪景裏，密度算符與時間無關，正負號差別確使期望值 $⟨A⟩$ 對於時間的導數會得到與薛丁格繪景相同的結果。

假若哈密頓算符不含時，則可從馮諾伊曼方程式推導出

$\rho (t)=e^{-iHt/\hslash }\rho (0)e^{iHt/\hslash }$ 。

馮諾伊曼熵

對於兩體純態系統，馮諾伊曼熵 $\sigma$ （豎軸）與本徵值 $a_i$ （橫軸）之間的關係曲線。

在量子統計力學（quantum statistical mechanics）裏，馮諾伊曼熵（von Neumann entropy）是經典統計力學關於熵概念的延伸。對於密度矩陣為 $\varrho$ 的混合態，馮諾伊曼熵定義為Template:Rp

$\sigma \stackrel{def}{=}-\mathrm{t}\mathrm{r}(\varrho \ln \varrho )$ 。

這公式涉及到矩陣對數（logarithm of a matrix），似乎很難計算，但密度算符 $\rho$ 是自伴算符，具有譜表示Template:Rp

$\rho =\sum _i{a}_i|a_i⟩⟨a_i|$ ；

其中，$|a_i⟩$ 是本徵值為 $a_i$ 的本徵態，所有 $|a_i⟩$ 形成一個規範正交基。

因此，可以將密度矩陣 $\varrho$ 對角化，將馮諾伊曼熵更簡單地以對角化後的密度矩陣 $\varrho$ 定義為

$\sigma =-\sum _i{\varrho }_{ii}\ln {\varrho }_{ii}$ 。

馮諾伊曼熵 $\sigma$ 又可以寫為

$\sigma =-\sum _i{a}_i\ln a_i$ 。

從這形式，可以推論馮諾伊曼熵與經典信息論裏的夏農熵（Shannon entropy）相關。

在這裏，可以視每一個本徵值 $a_i$ 為處於本徵態 $|a_i⟩$ 的機率。假若某事件的發生機率為零，則這事件不應貢獻出絲毫馮諾伊曼熵。從數學而言，以下極限為零：

$\underset{a\to 0}{\lim }a\log a=0$ 。

因此，可以採用約定

$0\log 0=0$ 。

純態的馮諾伊曼熵為零，因為其密度矩陣對角化之後，只有一個元素為1，其它均為0。即所有對角元素 $a_i$ 必定滿足 $a_i=0$ 或 $\ln a_i=0$ 。

完全隨機混合態的 $N\times N$ 密度矩陣，其馮諾伊曼熵 $\sigma$ 為

$\sigma =-\sum _i\frac{1}{N}\ln \frac{1}{N}=\ln N$ 。

假若，將馮諾伊曼熵視為量子系統失序現象的一種量度，則純態擁有最小的馮諾伊曼熵 $0$ ，而完全隨機混合態擁有最大的馮諾伊曼熵 $\ln N$ 。

每一次做投影測量，馮諾伊曼熵都會增加，永遠不會減少，但是，對於廣義測量（generalized measurement），馮諾伊曼熵可能會減少。混合態的馮諾伊曼熵永遠不小於零。因此，純態可以通過投影測量改變為混合態，但是，非純態的混合態永遠無法通過投影測量改變為純態。投影測量這動作促成了一種基本不可逆性的對於密度算符的改變，如同波函數塌縮。實際而言，相當反直覺地，投影測量這動作抹除了複合系統的量子相干性。更詳盡內容，請參閱條目量子退相干。

一個量子系統的子系統可以從混合態改變為純態，但是所附出的代價是其它部分的馮諾伊曼熵會增加，就好似將一個物體放進冰箱來降低其熵，冰箱熱交換器外的空氣會變暖，而所增加的熵會比物體所減少的熵更多。更詳盡內容，請參閱條目熱力學第二定律。

參閱

• 玻恩法則（Born rule）
• 格里森定理（Gleason's theorem）
• 密度泛函理論