正交四边形

正交四边形（黄色）与其边构成的正方形，由勾股定理可知，两个红色正方形与两个蓝色正方形的面积和相等

在欧几里得几何中，正交四边形（Template:Lang-en，也称为正軸四邊形）是指对角线相互垂直的四边形。筝形、菱形、正方形、婆罗摩笈多四边形都是特殊的正交四边形。

基本性质

边

根据勾股定理，正交四边形的对边平方和相等。暨对于任意正交四边形，其四边长分别为a、b、c、d，都有：

$a^2+c^2=b^2+d^2$

反之，任意满足该公式的四边形一定是正交四边形，可以通过余弦定理、平面向量、复数和反證法等多种方式证明。

角

根据定义，当且仅当凸四边形ABCD为正交四边形时，有

$\mathrm{\angle }PAB+\mathrm{\angle }PBA+\mathrm{\angle }PCD+\mathrm{\angle }PDC=\pi$

其中P为对角线交点。

此命题的逆命题也成立，暨对于相交于点P的线段AB、CD，若满足$\mathrm{\angle }PAB+\mathrm{\angle }PBA+\mathrm{\angle }PCD+\mathrm{\angle }PDC=\pi$，则AB与CD垂直。可通过对顶角相等来证明此命题。

面积

设K为正交四边形的面积，p和q为正交四边形的对角线长，则有：

$K=\frac{pq}{2}$

反之，所有满足$K=\frac{pq}{2}$的四边形都是正交四边形。此外，正交四边形也是所有p和q为对角线长构成的四边形面积最大的，暨对于任意平面四边形，都有$K\le \frac{pq}{2}$，当且仅当对角线相互垂直时取等于号。更一般的，则为：

$K=\frac{pqsin\theta }{2}$

其中$\theta$为两对角线的夹角。

与其它四边形的关系

• 筝形，同时满足正交四边形与圆外切四边形的凸四边形
• 婆罗摩笈多四边形，同时满足正交四边形与圆内接四边形的凸四边形
• 直角筝形，同时满足正交四边形与雙心四邊形的凸四边形
• 正交梯形，同时满足正交四边形与一对边平行（梯形）的凸四边形
• 菱形，同时满足正交四边形与两对边平行（平行四边形）的凸四边形
• 中方四边形，同时满足正交四边形与对角线相等（等对角线四边形）的凸四边形

与圆外切四边形的比较

正交四边形与圆外切四边形有一些相似之处，如下表：

圆外切四边形	正交四边形
$a+c=b+d$	$a^2+c^2=b^2+d^2$
$R_1+R_3=R_2+R_4$	$R_1^2+R_3^2=R_2^2+R_4^2$
$\frac{1}{h_1}+\frac{1}{h_3}=\frac{1}{h_2}+\frac{1}{h_4}$	$\frac{1}{h_1^2}+\frac{1}{h_3^2}=\frac{1}{h_2^2}+\frac{1}{h_4^2}$

其中，a、b、c、d分别为四边长，h₁, h₂, h₃, h₄为四边与对角线组成的三角形的高，R₁, R₂, R₃, R₄为此四个三角形的外接圓半径。