上极限和下极限

上极限和下极限的示意图。數列 x_n 为蓝色。两个红色虛線曲线逼近數列 x_n 的上极限和下极限。數列的上下極限相等若且唯若此數列收敛

在微积分学中，上極限和下極限（Template:Lang-en）是指數列極限的上极限和下极限，可以大致想像為數列极限的上下界。舉例來說，數列 $\{(-1{)}^n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ 的上極限為 1，下極限為 -1。 函数的上极限和下极限可以用类似方式考虑。Template:Notetag。集合的上极限和下极限分别是这个集合的极限点的上确界和下确界。

定义

序列$(x_n)$的上极限定义是

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}{x}_n=\underset{n\ge 0}{\inf }\underset{k\ge n}{\sup }{x}_k=\inf \{\sup \{x_k:k\ge n\}:n\ge 0\}$；

或者

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}{x}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left(\underset{m\ge n}{\sup }{x}_m\right)$。

同样的，序列$x_n$的下极限定义是

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}{x}_n=\underset{n\ge 0}{\sup }\underset{k\ge n}{\inf }{x}_k=\sup \{\inf \{x_k:k\ge n\}:n\ge 0\}$；

或者

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}{x}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left(\underset{m\ge n}{\inf }{x}_m\right)$。

这些定义在任意的偏序集都适用，只需要上确界和下确界存在。 在完全格裡，上确界和下确界总是存在，所以其中的序列一定有上极限和下极限。

每当$\mathrm{lim\; inf}{x}_n$和$\mathrm{lim\; sup}{x}_n$都存在，那么

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}{x}_n\le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}{x}_n$。

上极限和下极限也记为$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\bar{\lim }}{x}_n$和$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\underset{―}{\lim }}{x}_n$。

实数数列

实数集 R 的数列对微积分很重要。R 不是完備格，但可以加入正负无穷以得到完備全序集 $[-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }]$，形成完備格。那么在 $[-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }]$ 中数列 $(x_n)$ 收敛当且仅当 $\mathrm{lim\; inf}{x}_n=\mathrm{lim\; sup}{x}_n$，而这时 $\lim x_n$ 等于上面的共同值。Template:Notetag

若實數數列 $(x_n)$ 的上極限為實數Template:Notetag，那麼上極限是最小的實數 a，使得對任意小的正實數 $ϵ$，都存在足夠大的正整數 N，使得對所有 $n\ge N$，都有 $x_n<a+ϵ$。換言之，對任何大於上極限的實數，都存在 N 使得這實數是數列 $(x_n{)}_{n\ge N}$ 的上界。

若實數數列 $(x_n)$ 的下極限為實數，那麼下極限是最大的實數 b，使得對任意小的正實數 $ϵ$，都存在足夠大的正整數 N，使得對所有 $n\ge N$，都有 $x_n>b-ϵ$。換言之，對任何小於下極限的實數，都存在 N 使得這實數是數列 $(x_n{)}_{n\ge N}$的下界。

設 $(x_n)$ 是整數數列。若其上極限為實數 a，由於 $\lfloor a\rfloor$ 也符合上述條件，故此 a 必是整數。Template:Notetag在條件中取 $ϵ<1$，得出 a 是最小的實數，使得存在正整數 N，對所有 $n\ge N$，都有 $x_n\le a$。因此 a 是最大的整數，使得有無限個 $x_n=a$。同樣地，若其下極限為實數 b，則 b 是最小的整數，使得有無限個 $x_n=b$。

若 $I=\mathrm{lim\; inf}{x}_n$ 和 $S=\mathrm{lim\; sup}{x}_n$ ，那么区间 $[I,S]$ 不一定包含任何的 $x_n$，但是轻微扩大了的 [I-ε,S+ε] 对任意小的ε > 0都会包含除了有限项外所有的 x_n。区间 [I, S] 是适合这个性质的最小闭区间。

例子

• 設$x_n=(-1{)}^n(1+\frac{1}{n})$，則$\mathrm{lim\; inf}{x}_n=-1$，$\mathrm{lim\; sup}{x}_n=1$。閉區間[-1, 1]中不包含任何$x_n$。
• 考虑数列$x_n=\sin n$。应用π的无理数性质，可以证明$\mathrm{lim\; inf}{x}_n=-1$和$\mathrm{lim\; sup}{x}_n=+1$。Template:Notetag

• 一个数论例子是

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}(p_{n+1}-p_n)$

其中$p_n$是第$n$个素数。Template:Notetag

集的序列

集合X的冪集P(X)是完備格。对于P(X)中的序列，也就是X的子集的序列，其上下极限也有用处。

若$X_n$是这样的序列，那么X的元素a属于$\mathrm{lim\; inf}{X}_n$，当且仅当存在自然数$n_0$使得对于所有$n>n_0$，a在$X_n$裡。元素a属于$\mathrm{lim\; sup}{X}_n$，当且仅当对所有自然数$n_0$，都存在一个指数$n>n_0$使得a在$X_n$裡。换句话说，$\mathrm{lim\; sup}{X}_n$包含了所有这样的元素，其中的每一个，都有无限多个n，使得它在集合$X_n$裡；而$\mathrm{lim\; inf}{X}_n$包含了所有这样的元素，其中的每一个，都有除了有限多个外的所有n，使得它在$X_n$裡。

以集合论的标准语言来说，一个集合序列的下确界是这些集合的可数交，也就是包含在所有集合裡的最大集合：

$\inf \{X_m:m=1,2,3,\dots \}=\bigcap _{m=1}^{\mathrm{\infty }}{X}_m$。

令$I_n$为自$X_n$起的集合的下确界。那么序列$I_n$非递减，因为$I_n\subset I_{n+1}$。所以，第1至n个下确界的并集就是第n个下确界。下极限就是这序列的极限：

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}{X}_n=\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\left(\bigcap _{m=n}^{\mathrm{\infty }}{X}_m\right)$。

上极限可以相反方式定义。一个集合序列的上确界是包含这些集合的最小集合，也就是它们的可数并：

$\sup \{X_m:m=1,2,3,\dots \}=\bigcup _{m=1}^{\mathrm{\infty }}{X}_m$。

上极限是这个非递增的上确界序列的可数交（其中每个上确界都包含在前一个裡面）。

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}{X}_n=\bigcap _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\left(\bigcup _{m=n}^{\mathrm{\infty }}{X}_m\right)$。

例子或应用可见波莱尔－坎泰利引理，柯西-阿达马公式（Cauchy-Hadamard Formula）。

引用

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