小角度近似

在Template:Math時一些三角函數的近似值

小角度近似（small-angle approximations）可以在角度以弧度表示，且角度很小的情形下，近似部份三角函数的值：

$\begin{array}{cc}\sin \theta & \approx \theta \\ \cos \theta & \approx 1-\frac{{\theta }^2}{2}\approx 1\\ \tan \theta & \approx \theta \end{array}$

上述的近似常用在物理学和工程学的各分支學科中，包括力学、电磁学、光学、地图学、天文學和计算机科学。近似的一個理由是可以大幅簡化微分方程的計算，可以用在不需要精確解的情形下。

小角度近似可以用許多的方式說明，最直接的是用三角函數的馬克勞林級數，依照Template:Le不同，$\cos \theta$可以近似為$1$或$1-\frac{{\theta }^2}{2}$.。

理由

繪圖

圖1和圖2可以看出此近似的精度。在角度趨近零時，原始函數和近似函數的差也趨近零。

• 
  圖1：基本的奇三角函數的比較，當角度Template:Math趨近0時，近似函數很接近原函數。
• 
  圖2：Template:Math和Template:Math的比較。當角度Template:Math趨近0時，兩函數相當接近。

幾何學

右圖中紅色部份Template:Math，是斜邊長度Template:Mvar和鄰邊長度Template:Mvar的差。如圖所示，Template:Mvar和Template:Mvar幾乎一樣長，意思是Template:Math接近1，利用Template:Math可以減去紅色的部份

$\cos \theta \approx 1-\frac{{\theta }^2}{2}$。

其對邊Template:Mvar長度近似於藍色圓弧的長度Template:Mvar。根據幾何學，Template:Math，根據三角函數，Template:Math和Template:Math，根據圖上Template:Math且Template:Math可得：

$\sin \theta =\frac{O}{H}\approx \frac{O}{A}=\tan \theta =\frac{O}{A}\approx \frac{s}{A}=\frac{A\theta }{A}=\theta .$

簡化後可得

$\sin \theta \approx \tan \theta \approx \theta .$

微積分

利用夾擠定理，可以證明 $\underset{\theta \to 0}{\lim }\frac{\sin (\theta )}{\theta }=1,$這是在小角度θ時，$\sin (\theta )\approx \theta$近似式的正式敘述。

比較小心的應用夾擠定理可得 $\underset{\theta \to 0}{\lim }\frac{\tan (\theta )}{\theta }=1,$，因此可以得到在小角度θ時，$\tan (\theta )\approx \theta$。

最後，利用洛必达法则可得$\underset{\theta \to 0}{\lim }\frac{\cos (\theta )-1}{{\theta }^2}=\underset{\theta \to 0}{\lim }\frac{-\sin (\theta )}{2\theta }=-\frac{1}{2},$可以整理為$\cos (\theta )\approx 1-\frac{{\theta }^2}{2}$，在小角度θ時成立。也可以用倍角公式$\cos 2A\equiv 1-2{\sin }^{2}A$。令$\theta =2A$，可得$\cos \theta =1-2{\sin }^2\frac{\theta }{2}\approx 1-\frac{{\theta }^2}{2}$。

代數

正弦函數的小角度近似

將正弦函數進行馬克勞林展開（在零附近的泰勒展開）可得

$\begin{array}{cc}\sin \theta & =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n+1)!}{\theta }^{2n+1}\\ & =\theta -\frac{{\theta }^3}{3!}+\frac{{\theta }^5}{5!}-\frac{{\theta }^7}{7!}+\cdots \end{array}$

其中Template:Mvar是以弧度表示的角度，上式也可以改寫如下：

$\sin \theta =\theta -\frac{{\theta }^3}{6}+\frac{{\theta }^5}{120}-\frac{{\theta }^7}{5040}+\cdots$

可以看出在Template:Mvar很小時，第二項（三次方項）會非常小。用Template:Mvar為0.01為例，第二項的數量級為第一項的 Template:Val或Template:Sfrac。因此可以單純的近似為：

$\sin \theta \approx \theta$

另外，因為小角度的餘弦函數接近1，因此正切函數（正弦函數除以餘弦函數）可以表示如下

$\tan \theta \approx \sin \theta \approx \theta$,

近似的誤差

圖3：小角度近似的逼近误差

圖3是小角度近似的誤差，若以誤差在1%為準，以下是各近似函數誤差超過1%的角度：

• Template:Math，約為 0.1408 弧度 (8.07°)
• Template:Math，約為 0.1730 弧度 (9.91°)
• Template:Math，約為 0.2441 弧度 (13.99°)
• Template:Math，約為 0.6620 弧度 (37.93°)

和角和差角

三角恒等式中的和角公式和差角公式，當其中一個角度很小時（β ≈ 0），可以簡化為下式：

cos(α + β)	≈ cos(α) − β sin(α),
cos(α − β)	≈ cos(α) + β sin(α),
sin(α + β)	≈ sin(α) + β cos(α),
sin(α − β)	≈ sin(α) − β cos(α).

應用

天文學

在天文學上，天體的角直徑多半只有幾個角秒，其角度很小，因此可以用小角度近似。線性大小（Template:Mvar）和角直徑（Template:Mvar）以及與觀察者距離（Template:Mvar）之間有以下的公式：

$D=X\frac{d}{206265}$

其中Template:Mvar是用角秒表示。

數字Template:Val是圓用角秒表示的值（Template:Val），除以Template:Math。

精確的公式是

$D=d\tan \left(X\frac{2\pi }{1296000}\right)$

若Template:Math改為Template:Mvar，上式也適用。

擺的運動

在計算擺的势能时，二次餘弦近似非常的好用，可以應用在拉格朗日力学上，找到運動的間接方程（能量方程）。

在計算擺的頻率時，可以用正弦函數的小角度近近，將擺的微分方程轉換為簡諧運動的微分方程。

光學

在光學上，小角度近似是近軸近似的基礎。

波干涉

正弦和正切的小角度近似可以用在雙縫實驗或衍射光栅中，以簡化計算。

結構力學

小角度近似常用在結構力學上，特別是和穩定性和分岔分析上（主要是軸向受壓力的柱，是否會產生挫曲的分析）。這部份簡化的程度很大。不過不過用在精確的分析上。

導航

Template:Le中的Template:Le就是以小角度近似為基礎，加上一個弧度近似於60度的事實。

內插

小角度的和角和差角公式可以在Template:Le的插值：

例如：sin(0.755)

sin(0.755)	= sin(0.75 + 0.005)
	≈ sin(0.75) + (0.005) cos(0.75)
	≈ (0.6816) + (0.005)(0.7317)	[sin(0.75)和cos(0.75)的值是由三角函數表求得]
	≈ 0.6853.

相關條目

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