夾擠定理

夾擠定理（Template:Lang-en），又稱夹逼定理、夹极限定理、三明治定理、逼近定理、迫敛定理，是有關函數的極限的数学定理。指出若有兩個函數在某點的極限相同，且有第三個函數的值在這兩個函數之間，则第三個函數在該點的極限也相同。

定义

設$I$為包含某點$a$的區間，$f,g,h$為定義在$I$上，可能不包含a点的函數。若對於所有屬於$I$而不等於$a$的$x$，有：

• $g(x)\le f(x)\le h(x)$
• $\underset{x\to a}{\lim }g(x)=\underset{x\to a}{\lim }h(x)=L$

則$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=L$。

$g(x)$和$h(x)$分別稱為$f(x)$的下界和上界。

$a$若在$I$的端點，上面的極限是左極限或右極限。 對於$x\to \mathrm{\infty }$，這個定理還是可用的。

例子

有关正弦函数的极限

对于 $\underset{x\to 0}{\lim }{x}^2\sin \frac{1}{x}$，

在任何包含0的區間上，除了$x=0$，$f(x)=x^2\sin \frac{1}{x}$均有定義。

對於實數值，正弦函數的絕對值不大於1，因此$f(x)$的絕對值也不大於$x^2$。設$g(x)=-x^2$, $h(x)=x^2$：

$-1\le \sin \frac{1}{x}\le 1$

$-x^2\le x^2\sin \frac{1}{x}\le x^2$

$g(x)\le f(x)\le h(x)$

$\underset{x\to 0}{\lim }g(x)=\underset{x\to 0}{\lim }h(x)=0$，根據夾擠定理

$\underset{x\to 0}{\lim }f(x)=0$。

对于 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}$，

首先用幾何方法證明：若$0<x<\frac{\pi }{2}$，$\cos x<\frac{\sin x}{x}<1$。

稱(1,0)為D。A是單位圓圓周右上部分的一點。$C$在$OD$上，使得$AC$垂直$OD$。過$A$作單位圓的切線，與$OD$的延長線交於$E$。

由定義可得$x=\mathrm{\angle }AOD=arcAD$，$\tan x=AE$。

$AC<AD<arcAD$

$\sin x<x$

$\frac{\sin x}{x}<1$

$arcAD<AE$

$x<\tan x$

$\cos x<\frac{\sin x}{x}$

因為$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\cos x=1$，根據夾擠定理

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$。

另一邊的極限可用這個結果求出。

高斯函數

高斯函數的積分的應用包括連續傅立葉變換和正交化。 一般高斯函數的積分是$I(a)=\underset{0}{\overset{a}{\int }}{e}^{-x^2}dx$，現在要求的是$I(\mathrm{\infty })=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2}dx$。

被積函數對於y軸是對稱的，因此$I(\mathrm{\infty })$是被積函數對於所有實數的積分的一半。

$(2I{)}^2={\left[2\underset{0}{\overset{a}{\int }}{e}^{-x^2}dx\right]}^2={\left[\underset{-a}{\overset{a}{\int }}{e}^{-x^2}dx\right]}^2=\underset{-a}{\overset{a}{\int }}\underset{-a}{\overset{a}{\int }}{e}^{-(x^2+y^2)}dxdy$

這個二重積分在一個$(-a,-a),(-a,a),(a,-a),(a,a)$的正方形內。它比其內切圓大，比外接圓小。這些可用極坐標表示：

$\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\underset{0}{\overset{a}{\int }}r{e}^{-r^2}drd\theta \le (2I{)}^2\le \underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\underset{0}{\overset{a\sqrt{2}}{\int }}r{e}^{-r^2}drd\theta$

$\pi (1-e^{-a^2})\le (2I{)}^2\le \pi (1-e^{-2a^2})$

$\underset{a\to \mathrm{\infty }}{\lim }\pi (1-e^{-a^2})=\underset{a\to \mathrm{\infty }}{\lim }\pi (1-e^{-2a^2})=\pi ⊢[2I(\mathrm{\infty }){]}^2=\pi$

$\underset{a\to \mathrm{\infty }}{\lim }(2I{)}^2=\pi$

$I(\mathrm{\infty })=\frac{\sqrt{\pi }}{2}$

證明

極限為0的情況

若$\mathrm{\forall }x\in ℝ$，$g(x)=0$，而且$\underset{x\to a}{\lim }h(x)=0$。

設$\epsilon >0$，根據函數的極限的定義，存在$\delta >0$使得：若$0<|x-a|<\delta$，則$|h(x)|<\epsilon$。

由於 $0=g(x)\le f(x)\le h(x)$，故$|f(x)|\le |h(x)|$。

若 $0<|x-a|<\delta$，則$|f(x)|\le |h(x)|<\epsilon$。於是，$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=0$。

一般情況

$g(x)\le f(x)\le h(x)$

$0\le f(x)-g(x)\le h(x)-g(x)$

當$x\to a$：

$h(x)-g(x)\to L-L=0$

根據上面已證的特殊情況，可知$f(x)-g(x)\to 0$。

$f(x)=[f(x)-g(x)]+g(x)\to 0+L=L$。