铅垂线

橘红色的横向虚线为各重力等位面，其中加粗的为大地水准面（Geoid）；阳橙色的纵向虚线为铅垂线（true vertical），其与重力等位面正交。

铅垂线（Template:Lang-en），又称垂线或力线Template:Rp，在大地测量学中指重力作用的方向线Template:RpTemplate:Rp。铅垂线与与重力矢量的方向处处相切，该方向又被称为铅垂方向，有时也直接以铅垂线代称。Template:Rp在重力场中，铅垂线通常是曲线而非直线，彼此互不平行，与其经过的重力等位面正交。Template:Rp铅垂线与参考椭球面的法线之间的方向偏差被称为垂线偏差。Template:Rp

在测量学中，铅垂线是测量外业的基准线。Template:Rp

曲率

由于在重力场中，除轴线外，同一直线上各点的重力矢量方向通常各不相同。因此，铅垂线通常是一条具有曲率的曲线。通过计算铅垂线的曲率，可以将地形表面上进行的天文测量数据归算到大地水准面上。Template:Rp铅垂线在某点处的曲率 $\kappa$ 可以通过该点处的重力矢量的大小 $g$ 及其一阶微分 $g_x$、$g_y$ 得到：Template:Rp

$\kappa =\frac{1}{g}\sqrt{g_x^2+g_y^2}$

推导过程

设铅垂线的线元矢量为 $\mathrm{d}𝐱=(\mathrm{d}x,\mathrm{d}y,\mathrm{d}z)$，重力矢量为 $𝐠=(W_x,W_y,W_z)$，两者间仅相差一个比例因子：Template:Rp

$\frac{\mathrm{d}x}{W_x}=\frac{\mathrm{d}y}{W_y}=\frac{\mathrm{d}z}{W_z}$

根据微分几何中曲率的计算公式，铅垂线投影在 $xz$ 平面上的曲率 ${\kappa }_1$ 为

${\kappa }_1=\frac{{\mathrm{d}}^{2}x}{\mathrm{d}{z}^2}$

上式的二阶微分可由重力位 $W$ 的偏微分得到：

$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}z}=\frac{W_x}{W_z}⟶\frac{{\mathrm{d}}^{2}x}{\mathrm{d}{z}^2}=\frac{1}{W_z^2}[W_z(W_{xz}+W_{xx}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}z})-W_x(W_{zz}+W_{zx}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}z})]$

取沿向上的铅垂方向为 $z$ 轴正向，建立局部坐标框架。此时重力位 $W$ 在 $xy$ 平面的微分为零，即

$W_x=W_y=0⟶\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}z}=0$

将上式代入曲率 ${\kappa }_1$ 的计算公式，得：

${\kappa }_1=\frac{W_{zx}}{W_z}$

其中，重力位沿 $z$ 轴方向的微分 $W_z=-g$. 其中 $g$ 为重力矢量的大小，即 $g=\Vert 𝐠\Vert$. 则重力位的微分可替换为重力矢量大小的微分：Template:Rp

${\kappa }_1=\frac{g_x}{g}$

同理可证，铅垂线投影在 $yz$ 平面上的曲率 ${\kappa }_2$ 为

${\kappa }_2=\frac{g_y}{g}$

由于铅垂线与 $z$ 轴在上述定义的局部坐标框架中相切，即铅垂线投影在 $xy$ 平面上的曲率为零，再由总曲率的计算公式可以得到：Template:Rp

$\kappa =\sqrt{{\kappa }_1^2+{\kappa }_2^2}=\frac{1}{g}\sqrt{g_x^2+g_y^2}$