垂线偏差

蓝色直线为过交点的垂线方向，红色直线为过交点的法线方向，两者间的差异即为垂线偏差

垂线偏差（Template:Lang-en）指地球表面上某一点处垂线方向和法线方向的差异，也即重力异常矢量的方向。垂线偏差可以表示为当地天文坐标与地理坐标之间的差异，其中前者在水准面上通过重力测量的方式确定，而后者是天文坐标投影到椭球面上的位置。对垂线偏差的数学描述通常以法线为基准。

数学表达

设 $𝐏$ 为大地水准面上一点，其所处的垂线方向为 $𝐧$，通过重力测量方式测得的天文坐标为 $(\mathrm{\Phi },\mathrm{\Lambda })$ 。将其沿参考椭球面的法线 ${𝐧}^{\prime }$ 投影至椭球面上的点 $𝐐$，得到其地理坐标为 $(\phi ,\lambda )$ 。在实际测量过程中，常以其在南北方向（即子午圈方向）上的投影 $\xi$ 和其在东西方向（即卯酉圈方向）上的投影 $\eta$ 描述：

$\{\begin{array}{c}\xi =\mathrm{\Phi }-\phi \\ \eta =(\mathrm{\Lambda }-\lambda )\cos \phi \end{array}$

与重力异常和重力扰动的关系

设 $𝐏$ 点处测量得到的真实重力矢量为 ${\overrightarrow{𝐠}}_P$，而 $𝐐$ 点处计算得到的正常重力矢量为 ${\overrightarrow{\mathit{\gamma }}}_Q$，则 $𝐏$ 点处的重力异常矢量为：

$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{𝐠}={\overrightarrow{𝐠}}_P-{\overrightarrow{\mathit{\gamma }}}_Q$

又设 $𝐏$ 点处测量得到的正常重力矢量为 ${\overrightarrow{\mathit{\gamma }}}_P$，则 $𝐏$ 点处的重力扰动矢量为：

$\delta \overrightarrow{𝐠}={\overrightarrow{𝐠}}_P-{\overrightarrow{\mathit{\gamma }}}_P$

重力异常矢量和重力扰动矢量的方向同为垂线偏差的方向，因为 $𝐏$、$𝐐$ 两点的正常重力方向在同一条直线上。

与大地水准面高的关系

大地水准面高即为两点间的距离 $PQ$ ，垂线偏差亦可表示为大地水准面高的泛函。以一过垂线的垂直面截取点 $𝐏$，垂线偏差在此平面内的分量 $\epsilon$ 与大地水准面高 $N$ 和大地水准面上的弧微分 $\mathrm{d}s$ 存在如下几何关系：

$\tan \epsilon =-\mathrm{d}N/\mathrm{d}s$

习惯上取沿法线向下的方向为正，因此上式中的 $-\mathrm{d}N$ 为负值。又因垂线偏差的分量 $\epsilon$ 是微小量，即 $\epsilon \to 0$ ，因此上式也可写成：

$\epsilon =-\mathrm{d}N/\mathrm{d}s(\epsilon \to 0)$

再以地球平均半径 $R$ 替代点 $𝐏$ 在各法截面上的曲率半径，得到大地水准面上弧微分的近似计算公式为

${\mathrm{d}s}^2=R^2{\mathrm{d}\phi }^2+R^2{\cos }^2{\phi }^2{\mathrm{d}\lambda }^2$

分别取垂直面分别与子午圈平行（即 $\mathrm{d}\lambda =0$）和与卯酉圈平行（即 $\mathrm{d}\phi =0$），得到垂线偏差的两个分量与大地水准面高的关系为：

$\{\begin{array}{c}\xi =-\frac{1}{R}\frac{\partial N}{\partial \phi }\\ \eta =-\frac{1}{R\cos \phi }\frac{\partial N}{\partial \lambda }\end{array}$

参见

• 法线
• 铅垂线
• 参考椭球面
• 大地水准面
• 重力异常
• 重力扰动