Sorgenfrey平面

在拓撲學，Sorgenfrey平面是一个經常引用到的反例。它是兩條Sorgenfrey線的積（Sorgenfrey線是賦予了下限拓撲的實數線）。Sorgenfrey線和Sorgenfrey平面是以美國數學家 Robert Sorgenfrey命名。

Sorgenfrey平面（現在開始用 $𝕊$表示）的其中一組基是所有「包含左邊、左下頂點、下邊而不包含其他邊、頂點」的長方形。$𝕊$上的開集則是這種長方形的並集。

$𝕊$能作為很多拓撲學上聽起來很可能正確的陳述的反例子。其一，它是林德勒夫空間的積，但它自己不是林德勒夫空間。其二，反對角線$\mathrm{\Delta }=\{(x,-x)\mid x\in ℝ\}$是$𝕊$上的一個不可數離散子集，所以它是不可分的，但$𝕊$是可分的。這個例子展示了可分空間的閉子集不一定是可分的。其三，$K=\{(x,-x)\mid x\in \mathbb{Q}\}$和$\mathrm{\Delta }\setminus K$是閉集，而且可以證明它們不能被鄰域分離，所以$𝕊$不是正則空間。這展示了正則空間的積不一定是正則的，甚至展示了更強的結果：有限個完美正則空間的積也不一定是正則的。

参考文献

來源

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• Robert Sorgenfrey, "On the topological product of paracompact spaces", Bull. Amer. Math. Soc. 53 (1947) 631–632.