平均数不等式

Template:Multiple issues 平均数不等式，或称平均值不等式、均值不等式，是数学上的一组不等式，也是算术-几何平均值不等式的推广。它是说：

$x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n} \in ℝ_{+} \Rightarrow \frac{n}{\sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{x_{i}}} \leq \sqrt[n]{\prod_{i = 1}^{n} x_{i}} \leq \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}}{n} \leq \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2}}{n}}$

即 $H_{n} \leq G_{n} \leq A_{n} \leq Q_{n}$

其中： $H_{n} = \frac{n}{\sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{x_{i}}} = \frac{n}{\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} + \dots + \frac{1}{x_{n}}}$

$G_{n} = \sqrt[n]{\prod_{i = 1}^{n} x_{i}} = \sqrt[n]{x_{1} x_{2} \dots x_{n}}$

$A_{n} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}}{n} = \frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}}{n}$

$Q_{n} = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2}}{n}} = \sqrt{\frac{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \dots + x_{n}^{2}}{n}}$

当且仅当 $x_{1} = x_{2} = \dots = x_{n}$ ，等号成立。

即对这些正实数：调和平均数 ≤ 几何平均数 ≤ 算术平均数 ≤ 平方平均数（方均根）

简记为：“调几算方”

$n = 2$ 时的情形

第一个不等号

${(x_{1} - x_{2})}^{2} = x_{1}^{2} - 2 x_{1} x_{2} + x_{2}^{2}$	$\geq 0$
${(x_{1} + x_{2})}^{2} = x_{1}^{2} + 2 x_{1} x_{2} + x_{2}^{2}$	$\geq 4 x_{1} x_{2}$
$1$	$\geq \frac{4 x_{1} x_{2}}{{(x_{1} + x_{2})}^{2}}$
$1$	$\geq \frac{2 \sqrt{x_{1} x_{2}}}{x_{1} + x_{2}}$
$\sqrt{x_{1} x_{2}}$	$\geq \frac{2 x_{1} x_{2}}{x_{1} + x_{2}} = \frac{2}{\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}}}$

第二个不等号

${(x_{1} - x_{2})}^{2} = x_{1}^{2} - 2 x_{1} x_{2} + x_{2}^{2}$	$\geq 0$
${(x_{1} + x_{2})}^{2} = x_{1}^{2} + 2 x_{1} x_{2} + x_{2}^{2}$	$\geq 4 x_{1} x_{2}$
${(\frac{x_{1} + x_{2}}{2})}^{2}$	$\geq x_{1} x_{2}$
$\frac{x_{1} + x_{2}}{2}$	$\geq \sqrt{x_{1} x_{2}}$

第三个不等号

$(\frac{x_{1} - x_{2}}{2})^{2} = \frac{x_{1}^{2} - 2 x_{1} x_{2} + x_{2}^{2}}{4}$	$\geq 0$
$\frac{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}}{2} = \frac{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{1}^{2} + x_{2}^{2}}{4}$	$\geq \frac{2 x_{1} x_{2} + x_{1}^{2} + x_{2}^{2}}{4} = \frac{(x_{1} + x_{2})^{2}}{4}$
$\sqrt{\frac{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}}{2}}$	$\geq \frac{x_{1} + x_{2}}{2}$

证明方法

关于均值不等式的证明方法有很多，数学归纳法（第一数学归纳法或反向归纳法）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等，都可以证明均值不等式，在这里简要介绍数学归纳法证明n维形式的均值不等式的方法：

用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。

引理：设 $A \geq 0$ ， $B \geq 0$ ，则 ${(A + B)}^{n} \geq A^{n} + n A^{n - 1} B$ ，且仅当 $B = 0$ 时取等号。

引理的正确性较明显，条件 $A \geq 0$ ， $B \geq 0$ 可以弱化为 $A \geq 0$ ， $A + B \geq 0$ ，可以用数学归纳法证明。

原题等价于： ${(\frac{a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}}{n})}^{n} \geq a_{1} a_{2} \dots a_{n}$ ，当且仅当 $a_{1} = a_{2} = \dots = a_{n}$ 时取等号。

当 $n = 2$ 时易证；

假设当 $n = k$ 时命题成立，即 ${(\frac{a_{1} + a_{2} + \dots + a_{k}}{k})}^{k} \geq a_{1} a_{2} \dots a_{k}$ ，当且仅当 $a_{1} = a_{2} = \dots = a_{k}$ 时取等号。

那么当 $n = k + 1$ 时，不妨设 $a_{k + 1}$ 是 $a_{1}$ 、 $a_{2} \dots a_{k + 1}$ 中最大者，则 $k a_{k + 1} \geq a_{1} + a_{2} + \dots + a_{k}$

设 $S = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{k}$ ， ${(\frac{a_{1} + a_{2} + \dots + a_{k + 1}}{k + 1})}^{k + 1} = {[\frac{S}{k} + \frac{k a_{k + 1} - S}{k (k + 1)}]}^{k + 1}$ ，根据引理

${[\frac{S}{k} + \frac{k a_{k + 1} - S}{k (k + 1)}]}^{k + 1} \geq {(\frac{S}{k})}^{k + 1} + (k + 1) {(\frac{S}{k})}^{k} \frac{k a_{k + 1} - S}{k (k + 1)} = {(\frac{S}{k})}^{k} a_{k + 1} \geq a_{1} a_{2} \dots a_{k} a_{k + 1}$ ，当且仅当 $k a_{k + 1} - S = 0$ 且 $a_{1} = a_{2} = \dots = a_{k}$ 时，即 $a_{1} = a_{2} = \dots = a_{k} = a_{k + 1}$ 时取等号。

此外，人教版高中数学教科书《选修4-5 不等式选讲》也介绍了一个运用数学归纳法的证明方法^[1]。

先运用数学归纳法证明一个引理：若 $n$ （ $n$ 是正整数）个正数 $a_{1}, a_{2}, . . ., a_{n}$ 的乘积 $a_{1} a_{2} . . . a_{n} = 1$ ，则它们的和 $a_{1} + a_{2} + . . . + a_{n} ⩾ n$ ，当且仅当 $a_{1} = a_{2} = . . . = a_{n} = 1$ 时等号成立。

此引理证明如下：

当 $n = 1$ 时命题为：若 $a = 1$ ，则 $a ⩾ 1$ ，当且仅当 $a = 1$ 时等号成立。命题显然成立。

假设当 $n = k$ 时命题成立，则现在证明当 $n = k + 1$ 时命题也成立。

若这 $k + 1$ 个数全部是1，即 $a_{1} = a_{2} = . . . = a_{k + 1} = 1$ ，则命题显然成立。

若这 $k + 1$ 个数不全是1，则易证明必存在 $i \neq j$ 使 $a_{i} > 1, a_{j} < 1$ 。不妨设 $a_{1} > 1, a_{2} < 1$ 。由归纳假设，因为 $(a_{1} a_{2}) a_{3} . . . a_{k + 1} = 1$ ，所以 $a_{1} a_{2} + a_{3} + . . . + a_{k + 1} ⩾ k$ ，记此式为①式。由 $a_{1} > 1, a_{2} < 1$ ，知 $a_{1} - 1 > 0, 1 - a_{2} > 0$ ，则 $(a_{1} - 1) (1 - a_{2}) = a_{1} + a_{2} - a_{1} a_{2} - 1 > 0$ ，整理得 $a_{1} + a_{2} > 1 + a_{1} a_{2}$ ，记此式为②式。①+②得 $a_{1} + a_{2} + a_{1} a_{2} + a_{3} + . . . + a_{k + 1} > k + 1 + a_{1} a_{2}$ ，整理得 $a_{1} + a_{2} + . . . + a_{k + 1} > k + 1$ （此时等号不成立），命题成立。

综上，由数学归纳法，引理成立。

现在为了证明平均值不等式，考虑 $n$ 个正数 $\frac{a_{1}}{\sqrt[n]{a_{1} a_{2} . . . a_{n}}}, \frac{a_{2}}{\sqrt[n]{a_{1} a_{2} . . . a_{n}}}, . . ., \frac{a_{n}}{\sqrt[n]{a_{1} a_{2} . . . a_{n}}}$ ，它们的积为1，由引理，它们的和 $\frac{a_{1}}{\sqrt[n]{a_{1} a_{2} . . . a_{n}}} + \frac{a_{2}}{\sqrt[n]{a_{1} a_{2} . . . a_{n}}} + . . . + \frac{a_{n}}{\sqrt[n]{a_{1} a_{2} . . . a_{n}}} = \frac{a_{1} + a_{2} + . . . + a_{n}}{\sqrt[n]{a_{1} a_{2} . . . a_{n}}} ⩾ n$ ，当且仅当 $\frac{a_{1}}{\sqrt[n]{a_{1} a_{2} . . . a_{n}}} = \frac{a_{2}}{\sqrt[n]{a_{1} a_{2} . . . a_{n}}} = . . . = \frac{a_{n}}{\sqrt[n]{a_{1} a_{2} . . . a_{n}}}$ 即 $a_{1} = a_{2} = \dots = a_{n}$ 时等号成立。

整理即得： $\frac{a_{1} + a_{2} + . . . + a_{n}}{n} ⩾ \sqrt[n]{a_{1} a_{2} . . . a_{n}}$ ，当且仅当 $a_{1} = a_{2} = \dots = a_{n}$ 时等号成立。于是 $G_{n} \leq A_{n}$ 得证。

利用 $G_{n} \leq A_{n}$ ，易证 $H_{n} \leq G_{n}$ 。考虑 $n$ 个正数 $\frac{1}{a_{1}}, \frac{1}{a_{2}}, . . ., \frac{1}{a_{n}}$ ，有 $\frac{\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + . . . + \frac{1}{a_{n}}}{n} ⩾ \sqrt[n]{\frac{1}{a_{1}} \cdot \frac{1}{a_{2}} \cdot . . . \cdot \frac{1}{a_{n}}} = \frac{1}{\sqrt[n]{a_{1} a_{2} . . . a_{n}}}$ ，当且仅当 $\frac{1}{a_{1}} = \frac{1}{a_{2}} = . . . = \frac{1}{a_{n}}$ 即 $a_{1} = a_{2} = \dots = a_{n}$ 时等号成立。两边取倒数整理得 $\frac{n}{\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + . . . + \frac{1}{a_{n}}} ⩽ \sqrt[n]{a_{1} a_{2} . . . a_{n}}$ ，当且仅当 $a_{1} = a_{2} = \dots = a_{n}$ 时等号成立，即 $H_{n} \leq G_{n}$ 。

$A_{n} \leq Q_{n}$ 等价于 $Q_{n}^{2} - A_{n}^{2} \geq 0$ 。事实上， $Q_{n}^{2} - A_{n}^{2}$ 等于 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ 的方差，通过这个转化可以证出 $Q_{n}^{2} - A_{n}^{2} \geq 0$ ，证明如下。

$Q_{n}^{2} - A_{n}^{2} = Q_{n}^{2} - 2 A_{n}^{2} + A_{n}^{2} = \frac{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + \dots + a_{n}^{2}}{n} - \frac{2 a_{1} A_{n} + 2 a_{2} A_{n} + \dots + 2 a_{n} A_{n}}{n} + \frac{n A_{n}^{2}}{n}$

$= \frac{(a_{1}^{2} - 2 a_{1} A_{n} + A_{n}^{2}) + (a_{2}^{2} - 2 a_{2} A_{n} + A_{n}^{2}) + \dots + (a_{n}^{2} - 2 a_{n} A_{n} + A_{n}^{2})}{n}$

$= \frac{(a_{1} - A_{n})^{2} + (a_{2} - A_{n})^{2} + \dots + (a_{n} - A_{n})^{2}}{n}$

$⩾ 0$ ，

当且仅当 $a_{1} = a_{2} = \dots = a_{n} = A_{n}$ 时等号成立。

利用琴生不等式法也可以很简单地证明均值不等式，同时还有柯西归纳法等方法。

参见

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[1]

平均数不等式

n=2时的情形

证明方法

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