濾波問題

Template:Expert 在随机过程理論中的濾波問題（Filtering problem）是指針對信号处理及相關領域中，許多狀態估測問題的數學模型。大致概念是從不完整的、可能包括雜訊的觀測值中，建立有關系統真實值的「最佳估測」。最佳非線性濾波問題（甚至也包括非平稳过程問題）由Template:Link-en（1959年、1960年）找到解答，在Template:Link-en的研究及Template:Link-en的研究中也有提到，Zakai建立了濾波器在條件機率未歸一情況下的簡化動態模型，稱為Template:Link-en。不過一般情形下的解是無限維的。

目前已針對一些近似以及一些特定條件有深入的研究。例如在高斯隨機變數的假設下，最佳解是線性濾波器，也稱為维纳滤波及卡尔曼滤波。更一般的情形下，其解為無限維度，為了在有限記憶體的電腦中計算，需要進行有限維度的近似，有限維的近似型Template:Link-en比較會以启发為基礎，例如Template:Link-en或是假定密度濾波器（Assumed Density Filters），也有更方法論導向的作法，例如Projection Filters，其中有些子系列恰好和假定密度濾波器相同。

一般來說，若可以適用分離原理，這些濾波器也可以成為最优控制問題解的一部份。例如在LQG控制最佳控制問題中，其估測部份的解就是卡爾曼濾波。

數學表示

考慮概率空間 (Ω, Σ, P)，並且假設在n維度欧几里得空间 Rⁿ的系統，其在時間t的（隨機）狀態Y_t為随机变量 Y_t : Ω → Rⁿ，可以由以下形式伊藤清隨機微分方程的解來求得

$\mathrm{d}{Y}_t=b(t,Y_t)\mathrm{d}t+\sigma (t,Y_t)\mathrm{d}{B}_t,$

其中B是標準p維布朗运动，b : [0, +∞) × Rⁿ → Rⁿ為漂移場（drift field），且σ : [0, +∞) × Rⁿ → R^n×p是擴散場（diffusion field）。假設R^m內在每一個時間的觀測H_t（其中m和n可能不同）由下式決定

$H_t=c(t,Y_t)+\gamma (t,Y_t)\cdot \text{noise}.$

配合隨機微分方程的伊藤表示法，令

$Z_t=\underset{0}{\overset{t}{\int }}{H}_s\mathrm{d}s,$

因此可以得到有關觀測Z_t的隨機積分表示式：

$\mathrm{d}{Z}_t=c(t,Y_t)\mathrm{d}t+\gamma (t,Y_t)\mathrm{d}{W}_t,$

其中W表示標準r維的布朗运动，和B和初始條件Y₀無關，c : [0, +∞) × Rⁿ → Rⁿ，且 γ : [0, +∞) × Rⁿ → R^n×r

可以在所有t及x，以及特定常數C的情形下，使下式成立：

$|c(t,x)|+|\gamma (t,x)|\le C(1+|x|)$

濾波問題如下：給定在0 ≤ s ≤ t時間內的觀測量Z_s for 0 ≤ s ≤ t，依上述觀測值，針對系統真實狀態Y_t的最佳估測Ŷ_t是什麼？

因為「依上述觀測量為基礎」，表示Ŷ_t是根據Z_s觀測量中Σ-代数下的可測函數。令K = K(Z, t) 是所有數值為Rⁿ，平方可積分，而且G_t可量測隨機函數Y的集合：

$K=K(Z,t)=L^2(\mathrm{\Omega },G_t,𝐏;{𝐑}^n).$

因為要求是「最佳估測」，表示Ŷ_t會讓Y_t和K集合內所有候選估測值之間的均方差有最小值：

$𝐄\left[\right|Y_t-{\hat{Y}}_t{|}^2]=\underset{Y\in K}{\inf }𝐄\left[\right|Y_t-Y{|}^2].\text{(M)}$

基本結論：正交投影

候選估測值的空間K(Z, t)是希尔伯特空间，根據希尔伯特空间的理論，可以推得最小值問題（M）的解Ŷ_t可以表示為下式

${\hat{Y}}_t=P_{K(Z,t)}\left(Y_t\right),$

其中P_K(Z,t)表示將L²(Ω, Σ, P; Rⁿ)映射到线性子空间 K(Z, t) = L²(Ω, G_t, P; Rⁿ)的正交投影。而且，有關其条件期望，可知道若F是Σ中的次σ代數，則正交投影

$P_K:L^2(\mathrm{\Omega },\mathrm{\Sigma },𝐏;{𝐑}^n)\to L^2(\mathrm{\Omega },F,𝐏;{𝐑}^n)$

也就是條件期望運算子E[·|F]，也就是說

$P_K(X)=𝐄\left[X\right|F].$

因此

${\hat{Y}}_t=P_{K(Z,t)}\left(Y_t\right)=𝐄\left[Y_t\right|G_t].$

這個基本結果是濾波理論中，廣義Fujisaki-Kallianpur-Kunita方程的基礎。

相關條目

• Template:Link-en和濾波問題有緊密關係。
• 濾波器
• 信號處理中的Template:Le
• 卡尔曼滤波是濾波問題及平滑問題中最著名的解
• 平滑

參考資料

• Template:Cite book
• Template:Cite book (See Section 6.1)