西爾維斯特方程

西爾維斯特方程（Template:Lang-en）是控制理论中的矩阵方程，形式如下：

$AX+XB=C.$

其中$A_{n\times n}$、$B_{m\times m}$及$C_{n\times m}$是已知矩阵，n与m可以相等。方程中所有矩陣的係數都是复数。西爾維斯特方程有唯一解X的充要條件是A与-B沒有共同的特徵值。

AX+XB=C也可以視為是（可能無窮維中）巴拿赫空间中有界算子的方程。此情形下，唯一解X的充份必要條件幾乎相同：唯一解X的充份必要條件是A和-B的谱不互交。

解的存在及唯一

利用克罗内克积以及Template:Le$\mathrm{vec}$，可以改寫西爾維斯特方程為

$(I_m\otimes A+B^T\otimes I_n)\mathrm{vec}X=\mathrm{vec}C,$

其中$I_k$為$k\times k$單位矩陣。在此形式下，可以將問題改為$mn\times mn$維的線性系統。

命题

假定複數的$n\times n$矩陣$A$和$B$，西爾維斯特方程針對任意$C$有唯一解$X$，若且唯 若$A$和$-B$沒有共同的特徵值。

證明

考慮線性轉換$S:M_n\to M_n$，$X\mapsto AX+XB$.

(i)假設$A$和$-B$沒有共同的特徵值，則其特徵方程式 $f(z)$和$g(z)$的最大公因式為$1$，因此存在複數多項式$p(z)$和$q(z)$，使得$p(z)f(z)+q(z)g(z)=1$。依照Cayley–Hamilton定理，$f(A)=0=g(-B)$；因此$g(A)q(A)=I$。令$X$為$S(X)=0$的解，則$AX=-XB$，重複上述作法，可得$X=q(A)g(A)X=q(A)Xg(-B)=0$。因此依照秩－零化度定理，$S$是可逆的，因此針對所有的$C$都存在唯一的解$X$。

(ii) 相對的，若假設$s$是$A$和$-B$的共同特徵值，則$\overline{s}$也是$A^H$的特徵值。存在非零向量 $v$和$w$使得$A^{H}w=\overline{s}w$以及$Bv=-sv$。選擇$C$使得$Cv=w$，則$AX+XB=C$沒有解$X$，考虑 $⟨(AX+XB)v,w⟩=⟨Cv,w⟩=⟨w,w⟩$，等號的右邊為正值；而左側因為伴随变换的性质為零,即 $⟨(AX+XB)v,w⟩=⟨Xv,A^{H}w⟩-s⟨Xv,w⟩=s⟨Xv,w⟩-s⟨Xv,w⟩=0$。

Roth消去法則

假設二個大小分別為n和m的方陣A和B，以及大小為n乘m的矩陣C，則可以確認以下二個大小為n+m的方陣$\left[\begin{array}{cc}A& C\\ 0& B\end{array}\right]$和$\left[\begin{array}{cc}A& 0\\ 0& B\end{array}\right]$是否彼此相似。這二個矩陣相似的條件是存在一矩陣X使得AX-XB=C，換句話說，X為西爾維斯特方程的解，這稱為Roth消去法則（Roth's removal rule）。

可以用以下方式檢查，若AX-XB=C，則

$\left[\begin{array}{cc}{I}_n& X\\ 0& I_m\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}A& C\\ 0& B\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{I}_n& -X\\ 0& I_m\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}A& 0\\ 0& B\end{array}\right].$

Roth消去法則無法延伸到巴拿赫空間中的無窮維有界算子中。

數值解

西爾維斯特方程數值解的經典演算法是Bartels–Stewart演算法，利用Template:Le將矩陣$A$和矩陣$B$轉換為舒尔形式，再用逆向取代法求解三角矩阵。此演算法若用LAPACK計算，或是GNU Octave的lyap函數計算，計算複雜度是$𝒪(n^3)$個數學運算Template:Citation needed。也可以參考其中的sylvester函數。在一些特定的影像處理應用中，西爾維斯特方程會有解析解。

相關條目

• 李亞普諾夫方程
• 代數Riccati方程

參考資料

• Template:Cite journal
• Template:Cite journal
• Template:Cite journal
• Template:Cite journal
• Template:Cite journal
• Template:Cite book