适应过程

Template:NoteTA 适应过程是随机过程研究中常见的概念，表示不能“预见未来”的随机过程。非正式的数学解释是，一个随机过程是适应于某个参考族的，当且仅当在任意的特定时刻，随机过程都是可测的。适应过程是随机过程理论中很多重要概念的基础。比如说能够定义伊藤积分的随机过程就需要是适应过程。

定义

设有

• 概率空间$(\mathrm{\Omega },ℱ,\mathbb{P})$；
• 测度空间$(S,𝒜)$，状态空间；
• 有序的指标集$T$： 可以是非负实数集$[0,\mathrm{\infty })$、有限时间集$[0,T_0]$或离散时间$\mathbb{N}$；
• σ-代数$ℱ$上的参考族$𝔽=\{{ℱ}_t|t\in T\}$；
• 随机过程$X:T\times \mathrm{\Omega }\to 𝕏={\left(X_t\right)}_{t\in T}$。

则随机过程${\left(X_t\right)}_{t\in T}$是适应过程（适应于$𝔽$的随机过程）当且仅当对任意的时刻$t\in T$，映射：$X_t:\mathrm{\Omega }\to S$都是$({ℱ}_t,𝒜)$-可测的随机变量Template:RTemplate:R。

适应过程的定义说明，如果一个过程适应于某个参考族$𝔽=\{{ℱ}_t|t\in T\}$，那么在任意一个特定的时刻，我们掌握的信息都包括了这个过程。也就是说这个过程在任意时刻的结果必然在该时刻可知。但一般来说，适应过程在任意时刻的结果并不能提前预知。如果一个（离散的）随机过程在时刻$t=n$的结果能够在$t=n-1$的时刻已知，那么这个过程被称为在参考族$𝔽$中可预测。可预测的随机过程必然适应于参考族，反之则不然。

例子

设状态空间$(S,𝒜)$为实数及其波莱尔σ-代数$(ℝ,ℬ(ℝ))$。设指标集为连续的：$T=[0,\mathrm{\infty }).$ 给定一个随机过程$X={\left(X_t\right)}_{t\in T}$，如果考虑过程$X$产生的自然参考族：${\widetilde{ℱ}}^X=\{{\widetilde{ℱ}}_t^X|t\in T\}$

${\widetilde{ℱ}}_t^X=\sigma (X_s;0⩽s⩽t)=\sigma \left(\{X_s^{(-1)}(H)|0⩽s⩽t,H\in ℬ(ℝ)\}\right)$

那么$X$当然是适应于${\widetilde{ℱ}}^X$的过程，因为在每个时刻，$X$都是${\widetilde{ℱ}}_t^X$-可测的随机变量。自然参考族也是能使得$X$为适应变量的“最小”参考族。$X$适应于某个参考族${ℱ}^r=\{{ℱ}_t|t\in T\}$，当且仅当在任何时刻$t\in T$，${\widetilde{ℱ}}_t^X\subseteq {ℱ}_t.$Template:R

设$X={\left(X_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$是某彩票每期的开奖结果，那么$X$是一个适应随机过程，但不可能是一个可预测过程。