橢球坐標系

椭球坐标系: a=1,b=0.8,c=0.6,
λ=-0.1 红色椭球, μ=-0.5 蓝色单叶双曲面, ν=-0.8 品红色双叶双曲面.

橢球坐標系（Template:Lang-en）是一種三維正交坐標系，是橢圓坐標系的推廣。與大多數的三維正交坐標系的生成方法不同，橢球坐標系不是由任何二維正交坐標系延伸或旋轉生成的。

基本公式

橢球坐標 $(\lambda ,\mu ,\nu )$ 以直角坐標 $(x,y,z)$ 定義為：

$x^2=\frac{(a^2+\lambda )(a^2+\mu )(a^2+\nu )}{(a^2-b^2)(a^2-c^2)}$ 、

$y^2=\frac{(b^2+\lambda )(b^2+\mu )(b^2+\nu )}{(b^2-a^2)(b^2-c^2)}$ 、

$z^2=\frac{(c^2+\lambda )(c^2+\mu )(c^2+\nu )}{(c^2-b^2)(c^2-a^2)}$ ；

其中，橢球坐標遵守以下限制：

$-\lambda <c^2<-\mu <b^2<-\nu <a^2$ 。

坐標曲面

椭球上的与双曲面相交的曲线，a=1, b=0.8, c=0.6.

$\lambda$-坐標曲面是橢球面 ：

$\frac{x^2}{a^2+\lambda }+\frac{y^2}{b^2+\lambda }+\frac{z^2}{c^2+\lambda }=1$ 。

$\mu$-坐標曲面是單葉雙曲面 (Template:Lang) ：

$\frac{x^2}{a^2+\mu }+\frac{y^2}{b^2+\mu }+\frac{z^2}{c^2+\mu }=1$ 。

$\nu$-坐標曲面是双葉雙曲面 (Template:Lang) ：

$\frac{x^2}{a^2+\nu }+\frac{y^2}{b^2+\nu }+\frac{z^2}{c^2+\nu }=1$ 。

標度因子

為了簡化標度因子的計算，設定函數

$S(\sigma )\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}(a^2+\sigma )(b^2+\sigma )(c^2+\sigma )$ ；

其中，參數 $\sigma$ 可以代表任何一個橢球坐標 $(\lambda ,\mu ,\nu )$ 。

橢球坐標的標度因子分別為

$h_{\lambda }=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{(\lambda -\mu )(\lambda -\nu )}{S(\lambda )}}$ 、

$h_{\mu }=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{(\mu -\lambda )(\mu -\nu )}{S(\mu )}}$ 、

$h_{\nu }=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{(\nu -\lambda )(\nu -\mu )}{S(\nu )}}$ 。

無窮小體積元素等於

$dV=\frac{(\lambda -\mu )(\lambda -\nu )(\mu -\nu )}{8\sqrt{-S(\lambda )S(\mu )S(\nu )}}d\lambda d\mu d\nu$ 。

拉普拉斯算子是

${\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Phi }=\frac{4\sqrt{S(\lambda )}}{(\lambda -\mu )(\lambda -\nu )}\frac{\partial }{\partial \lambda }\left[\sqrt{S(\lambda )}\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial \lambda }\right]+\frac{4\sqrt{S(\mu )}}{(\mu -\lambda )(\mu -\nu )}\frac{\partial }{\partial \mu }\left[\sqrt{S(\mu )}\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial \mu }\right]$

$+\frac{4\sqrt{S(\nu )}}{(\nu -\lambda )(\nu -\mu )}\frac{\partial }{\partial \nu }\left[\sqrt{S(\nu )}\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial \nu }\right]$ 。

其它微分算子，例如 $\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅$ 與 $\mathrm{\nabla }\times 𝐅$ ，都可以用橢球坐標表達，只需要將標度因子代入正交坐標條目內對應的一般公式。

參閱

• 橢球
• 類球面

參考目錄

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