伯努利微分方程

Template:Unreferenced Template:微積分學 伯努利微分方程是形式如 $y^{\prime }+P(x)y=Q(x)y^n$ 的常微分方程。

解法

$y^{\prime }+P(x)y=Q(x)y^n$

代入 $w=y^{1-n}$ （注意 $w^{\prime }=\frac{(1-n)}{y^n}{y}^{\prime }$ ）：

$\frac{w^{\prime }}{1-n}+P(x)w=Q(x)$

此一階常微分方程可用積分因子求解。

例子

解以下微分方程。

$y^{\prime }-\frac{2y}{x}=-x^2{y}^2$

两边除以$y^2$，得：

$y^{\prime }{y}^{-2}-\frac{2}{x}{y}^{-1}=-x^2$

利用分离变数法，可得：

$w=\frac{1}{y}$

$w^{\prime }=\frac{-y^{\prime }}{y^2}.$

$w^{\prime }+\frac{2}{x}w=x^2$

它可以用积分因子的方法来解出。

$M(x)=e^{2\int \frac{1}{x}dx}=x^2.$

两边乘以$M(x)$，得：

$w^{\prime }{x}^2+2xw=x^4,$

等式的左边是$w{x}^2$的导数。两边积分，得：

$\int (w{x}^2{)}^{\prime }dx=\int x^{4}dx$

$w{x}^2=\frac{1}{5}{x}^5+C$

$\frac{1}{y}{x}^2=\frac{1}{5}{x}^5+C$

于是：

$y=\frac{x^2}{\frac{1}{5}{x}^5+C}$

参见

• 里卡蒂方程
• 柯西-欧拉方程
• 克莱罗方程
• 全微分方程
• 线性微分方程

外部链接

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