平方

$y=x^2$

代数中，一个数的平方是此数与它的本身相乘所得的乘积，一个元素的平方是此元素与它的本身相乘所得的乘积，记作x²。平方也可視為求指數为2的幂的值。若x是正实数，这个乘积相当于一个边长为x的正方形的面积；如果x为虚数，则这个乘积为负数。如果x为非虛數的复数，则这个乘积也是复数。

如果实数y = x²，就说y是x的平方；如果同時x是非负数，那么x就是y的平方根。如果一个整数 $n$ 是某个整数的平方，则称 $n$ 为一个完全平方数或平方数。有理数的平方一定是有理数，无理数的平方可以是有理数，也可以是无理数。

平方和

平方和通常指一些正整数的平方之和，整数的个数可以是有限个，也可以是无限多。 正整数的平方和公式如下：

$1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

证明

用数学归纳法证明如下：

$n=1$時，$1^2=\frac{1\times 2\times 3}{6}=1$成立

$n=2$時，$1^2+2^2=\frac{2\times 3\times 5}{6}=5$成立

設$n=k$時成立，即$1^2+2^2+3^2+....+k^2=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}$成立

當$n=k+1$時，

$1^2+2^2+3^2+....+k^2+(k+1{)}^2$

$=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}+(k+1{)}^2$

$=\frac{(k+1)(2k^2+k)}{6}+\frac{6(k+1{)}^2}{6}$

$=\frac{(k+1)[(2k^2+k)+6(k+1)]}{6}$

$=\frac{(k+1)(2k^2+7k+6))}{6}$

$=\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}$

$=\frac{(k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1]}{6}$

故$n=k+1$時亦成立，原式得證。

也可以用组合数公式来推导这个公式。

平方和也可以指：$a^2+b^2=(a+bi)(a-bi)$

參見

• 立方
• 次方