铁木辛柯梁理论

铁木辛柯梁是20世纪早期由美籍俄裔科学家与工程师斯蒂芬·铁木辛柯提出并发展的力学模型。模型考虑了剪应力和转动惯性，使其适于描述短梁、层合梁以及波长接近厚度的高频激励时梁的表现。结果方程有4阶，但不同于一般的梁理论，如欧拉-伯努利梁理论，还有一个2阶空间导数呈现。实际上，考虑了附加的变形机理有效地降低了梁的刚度，结果在一稳态载荷下挠度更大，在一组给定的边界条件时预估固有频率更低。后者在高频即波长更短时效果更明显，反向剪力距离缩短时也有同样效果。

铁木辛柯梁（蓝）的变形与欧拉-伯努利梁（红）的对比

如果梁材料的剪切模量接近无穷，即此时梁为剪切刚体，并且忽略转动惯性，则铁木辛柯梁理论趋同于一般梁理论。

控制方程

准静态铁木辛柯梁

铁木辛柯梁的变形。${\theta }_x=\phi (x)$不等于$dw/dx$。

在静力学中铁木辛柯梁理论没有轴向影响，假定梁的位移服从于

$u_x(x,y,z)=-z\phi (x);u_y(x,y,z)=0;u_z(x,y)=w(x)$

式中$(x,y,z)$是梁上一点的坐标，$u_x,u_y,u_z$是位移矢量的三维坐标分量，$\phi$是对于梁的中性面的法向转角，$w$是中性面的在$z$方向的位移。

控制方程是以下常微分方程的解耦系统：

$\begin{array}{cc}& \frac{{\mathrm{d}}^2}{\mathrm{d}{x}^2}\left(EI\frac{\mathrm{d}\phi }{\mathrm{d}x}\right)=q(x,t)\\ & \frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}x}=\phi -\frac{1}{\kappa AG}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(EI\frac{\mathrm{d}\phi }{\mathrm{d}x}\right).\end{array}$

静态条件下的铁木辛柯梁理论，若在以下條件成立時，等同于欧拉-伯努利梁理论

$\frac{EI}{\kappa L^{2}AG}\ll 1$

此時，可忽略上面控制方程的最后一项，得到有效的近似，式中$L$是梁的长度。

对于等截面均匀梁，合并以上两个方程，

$EI\frac{{\mathrm{d}}^{4}w}{\mathrm{d}{x}^4}=q(x)-\frac{EI}{\kappa AG}\frac{{\mathrm{d}}^{2}q}{\mathrm{d}{x}^2}$

动态铁木辛柯梁

在铁木辛柯梁理论中若不考虑轴向影响，则给出梁的位移

$u_x(x,y,z,t)=-z\phi (x,t);u_y(x,y,z,t)=0;u_z(x,y,z,t)=w(x,t)$

式中$(x,y,z)$是梁内一点的坐标，$u_x,u_y,u_z$是位移矢量的三维坐标分量，$\phi$是对于梁的中性面的法向转角，$w$是中性面$z$方向的位移.

从以上假设，铁木辛柯梁，考虑到振动，要用线性耦合偏微分方程描述：

$\rho A\frac{{\partial }^{2}w}{\partial t^2}-q(x,t)=\frac{\partial }{\partial x}\left[\kappa AG(\frac{\partial w}{\partial x}-\phi )\right]$

$\rho I\frac{{\partial }^2\phi }{\partial t^2}=\frac{\partial }{\partial x}\left(EI\frac{\partial \phi }{\partial x}\right)+\kappa AG(\frac{\partial w}{\partial x}-\phi )$

其中因变量是梁的平移位移$w(x,t)$和转角位移$\phi (x,t)$。注意不同于欧拉-伯努利梁理论，转角位移是另一个变量而非挠度斜率的近似。此外，

• $\rho$是梁材料的密度（而非线密度）；
• $A$是截面面积；
• $E$是弹性模量；
• $G$是剪切模量；
• $I$是轴惯性矩；
• $\kappa$，称作铁木辛柯剪切系数，由形状确定，通常矩形截面$\kappa =5/6$；
• $q(x,t)$是载荷分布（单位长度上的力）；
• $m:=\rho A$
• $J:=\rho I$

这些参数不一定是常数。

对于各向同性的线弹性均匀等截面梁，以上两个方程可合并成

$EI\frac{{\partial }^{4}w}{\partial x^4}+m\frac{{\partial }^{2}w}{\partial t^2}-(J+\frac{EIm}{kAG})\frac{{\partial }^{4}w}{\partial x^2\partial t^2}+\frac{mJ}{kAG}\frac{{\partial }^{4}w}{\partial t^4}=q(x,t)+\frac{J}{kAG}\frac{{\partial }^{2}q}{\partial t^2}-\frac{EI}{kAG}\frac{{\partial }^{2}q}{\partial x^2}$

轴向影响

如果梁的位移由下式给出

$u_x(x,y,z,t)=u_0(x,t)-z\phi (x,t);u_y(x,y,z,t)=0;u_z(x,y,z)=w(x,t)$

其中$u_0$是$x$方向的附加位移，则铁木辛柯梁的控制方程成为

$\begin{array}{cc}m\frac{{\partial }^{2}w}{\partial t^2}& =\frac{\partial }{\partial x}\left[\kappa AG(\frac{\partial w}{\partial x}-\phi )\right]+q(x,t)\\ J\frac{{\partial }^2\phi }{\partial t^2}& =N(x,t)\frac{\partial w}{\partial x}+\frac{\partial }{\partial x}\left(EI\frac{\partial \phi }{\partial x}\right)+\kappa AG(\frac{\partial w}{\partial x}-\phi )\end{array}$

其中$J=\rho I$，$N(x,t)$是外加轴向力。任意外部轴向力的平衡依靠应力

$N_{xx}(x,t)=\underset{-h}{\overset{h}{\int }}{\sigma }_{xx}dz$

式中${\sigma }_{xx}$是轴向应力，梁的厚度设为$2h$。

包含轴向力的梁方程合并为

$EI\frac{{\partial }^{4}w}{\partial x^4}+N\frac{{\partial }^{2}w}{\partial x^2}+m\frac{{\partial }^{2}w}{\partial t^2}-(J+\frac{mEI}{\kappa AG})\frac{{\partial }^{4}w}{\partial x^2\partial t^2}+\frac{mJ}{\kappa AG}\frac{{\partial }^{4}w}{\partial t^4}=q+\frac{J}{\kappa AG}\frac{{\partial }^{2}q}{\partial t^2}-\frac{EI}{\kappa AG}\frac{{\partial }^{2}q}{\partial x^2}$

阻尼

如果，除轴向力外，我们考虑与速度成正比的阻尼力，形如

$\eta (x)\frac{\partial w}{\partial t}$

铁木辛柯梁的耦合控制方程成为

$m\frac{{\partial }^{2}w}{\partial t^2}+\eta (x)\frac{\partial w}{\partial t}=\frac{\partial }{\partial x}\left[\kappa AG(\frac{\partial w}{\partial x}-\phi )\right]+q(x,t)$

$J\frac{{\partial }^2\phi }{\partial t^2}=N\frac{\partial w}{\partial x}+\frac{\partial }{\partial x}\left(EI\frac{\partial \phi }{\partial x}\right)+\kappa AG(\frac{\partial w}{\partial x}-\phi )$

合并方程为

$\begin{array}{cc}EI\frac{{\partial }^{4}w}{\partial x^4}& +N\frac{{\partial }^{2}w}{\partial x^2}+m\frac{{\partial }^{2}w}{\partial t^2}-(J+\frac{mEI}{\kappa AG})\frac{{\partial }^{4}w}{\partial x^2\partial t^2}+\frac{mJ}{\kappa AG}\frac{{\partial }^{4}w}{\partial t^4}+\frac{J\eta (x)}{\kappa AG}\frac{{\partial }^{3}w}{\partial t^3}\\ & -\frac{EI}{\kappa AG}\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}(\eta (x)\frac{\partial w}{\partial t})+\eta (x)\frac{\partial w}{\partial t}=q+\frac{J}{\kappa AG}\frac{{\partial }^{2}q}{\partial t^2}-\frac{EI}{\kappa AG}\frac{{\partial }^{2}q}{\partial x^2}\end{array}$

切变系数

确定切变系数不是直接的，一般它必须满足：

$\underset{A}{\int }\tau dA=\kappa AG\phi$

切变系数由泊松比确定。更严格的表达方法由多位科学家完成，包括斯蒂芬·铁木辛柯、雷蒙德·明德林（Raymond D. Mindlin）、考珀（G. R. Cowper）和约翰·哈钦森（John W. Hutchinson）等。工程实践中，斯蒂芬·铁木辛柯的表达一般状况下足够好。

对于固态矩形截面：

$\kappa =\frac{10(1+\nu )}{12+11\nu }$

对于固态圆形截面：

$\kappa =\frac{6(1+\nu )}{7+6\nu }$

参考文献

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