逻辑异或

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在-{zh-hant:數位;zh-hans:数字}-逻辑中，逻辑算符互斥或（Template:Lang-en）是对两个运算元的一种邏輯分析类型。与一般的邏輯或不同，當兩兩數值相同時為否，而數值不同時為真。

对于命题 $p,q$，$p$异或$q$通常记作$p\mathrm{XOR}q$或$p\oplus q$。在编程语言中，常写作p ^ q。

逻辑异或相当于逻辑不等价，或者说逻辑异或的逻辑非是逻辑等价。

真值表

异或运算$p\oplus q$的真值表如下：

$p$	$q$	$p\oplus q$
True	True	False
True	False	True
False	True	True
False	False	False
注：True：真，False：假。

无论怎样改变同一行中$p,q,p\oplus q$的位置，真值表都是成立的。

其他表示

在数学和工程学中，常常用其他的逻辑运算符来表示异或算符。异或算符可以使用逻辑算符逻辑与$\wedge$，逻辑或$\vee$和逻辑非$\mathrm{\neg }$表示为：

$\begin{array}{cc}p\oplus q& =(p\wedge \mathrm{\neg }q)\vee (\mathrm{\neg }p\wedge q)=p\bar{q}+\bar{p}q\\ & =(p\vee q)\wedge (\mathrm{\neg }p\vee \mathrm{\neg }q)=(p+q)(\bar{p}+\bar{q})\\ & =(p\vee q)\wedge \mathrm{\neg }(p\wedge q)=(p+q)(\overline{pq})\end{array}$

另外，异或算符可以被推广，得到关于n个运算元的异或运算：n个运算元的n维异或的值为真当且仅当其中值为真的运算元有奇数个。

异或也可以被表示为：

$p\oplus q=\mathrm{\neg }((p\wedge q)\vee (\mathrm{\neg }p\wedge \mathrm{\neg }q))$

异或还可以看作是逻辑等价关系的非运算。

性质

交换律：$p\oplus q=q\oplus p$

结合律：$p\oplus (q\oplus r)=(p\oplus q)\oplus r$

恒等律：$p\oplus 0=p$

归零律：$p\oplus p=0$

对合运算：$p\oplus q\oplus q=p\oplus 0=p$

与抽象代數的關係

尽管算子$\wedge$（逻辑合取）与$\vee$（逻辑析取）是逻辑系统中最为常见的算子，但结构上，系统$(\{T,F\},\wedge )$ and $(\{T,F\},\vee )$只是幺半群。因此，这两个系统无法合成为一个更大的结构，比如环或半环。

但是，带有逻辑异或的系统$(\{T,F\},\oplus )$是一个交换群。因此，算子$\wedge$与$\oplus$的结合在集合$\{T,F\}$上作用就产生了最基本的二元域$F_2$。这个域可以得出所有运用$(\wedge ,\vee )$可以得到的结果，并且由于附带了域的结构，可以进行代数上的进一步分析。

類似符號

名稱	符號	Unicode	圖形	符號的來源
地球	🜨	U+2295		带有赤道和一條經線的球體

應用

使用异或运算交换两个 int 类型变量的数值

C/C++

void swap(int *a, int *b) {
    *a ^= *b;
    *b ^= *a;
    *a ^= *b;
}

Java

public void swap(int a, int b) {
    a ^= b;
    b ^= a;
    a ^= b;
}

C#

public void swap(ref int a,ref int b)
{
    a ^= b;
    b ^= a;
    a ^= b;
}

Rust

fn swap<'a, 'b>( num_a: &'a mut i32, num_b: &'b mut i32 ) {
    *num_a ^= *num_b;
    *num_b ^= *num_a;
    *num_a ^= *num_b;
}

雖然XOR運算可用來交換變數，但比起使用額外變數來交換變數的做法相比，效能反而比較差。

参见

• 异或门
• 异或密码