连续q拉盖尔多项式

连续q拉盖尔多项式(Continuous q-Laguerre polynomials)是一个以基本超几何函数定义的正交多项式^[1]。

$P_{n}^{(α)} (x | q) = \frac{(q^{α} + 1; q)_{n}}{(q; q)_{n}}$ $_{3} Φ_{2} (q^{- n}, q^{α / 2 + 1 / 4} e^{i θ}, q^{α / 2 + 1 / 4} * e^{- i θ}; q^{α + 1}, 0 | q, q)$

极限关系

Q梅西纳-帕拉泽克多项式→连续q拉盖尔多项式

$P_{n} (c o s (θ + ϕ); q^{α / 2 + 1 / 2} | q) =$ $q^{(- α / 2 - 1 / 4) * n} * P_{n}^{(} α) (c o s θ | q)$

阿拉-萨拉姆-迟哈剌多项式→连续q拉盖尔多项式

令连续q拉盖尔多项式中 $x = q^{x}$ ,q→1,即得拉盖尔多项式

验证

3阶连续q拉盖尔多项式： $\lim_{q \to 1} P_{3}^{(} a) = 1 / 6 a^{3} - x a^{2} + a^{2} + \frac{11}{6} a + 2 a x^{2} - 5 a x + 1 - 6 x - 4 / 3 x^{3} + 6 x^{2}$

3阶广义拉盖尔多项式：

$L_{3}^{a} (2 x) = \frac{1}{6} (a + 1)_{3} *_{1} F_{1} (- n, a + 1; 2 x)$ $= 1 / 6 a^{3} - x a^{2} + a^{2} + \frac{11}{6} a + 2 a x^{2} - 5 a x + 1 - 6 x - 4 / 3 x^{3} + 6 x^{2}$