輸入-狀態穩定性

輸入-狀態穩定性（Input-to-state stability）簡稱ISS，是在有外部輸入時，非線性的控制理論中探討其穩定性的方式。簡單來說，控制系統具有輸入-狀態穩定性也就是指在沒有外在輸入時，系統會漸近穩定，而且在足夠長的時間後，系統軌跡會限制在和輸入大小有關的函數中。

輸入-狀態穩定性之所以重要，是因為此概念連接了輸入-輸出穩定性以及狀態空間法，這二個都是控制系統研究者常常使用的工具。輸入-狀態穩定性的標示方式是由Template:Link-en在1989年開始使用。

定義

考慮非時變常微分方程，其形式如下

其中$u:{ℝ}_{+}\to {ℝ}^m$是勒贝格测度有本質確界的外部輸入，且 $f$是利普希茨連續函數。這可以確保系統(Template:EquationNote)有唯一绝对连续的解。

若要定義ISS以及其他相關的性質，需要引入以下的Template:Link-en分類。令$𝒦$（K類函數）為連續遞增函數$\gamma :{ℝ}_{+}\to {ℝ}_{+}$，且$\gamma (0)=0$形成的集合，令${𝒦}_{\mathrm{\infty }}$為無界函數$\gamma \in 𝒦$，再令$\beta \in 𝒦ℒ$（KL類函數）為若$\beta (\cdot ,t)\in 𝒦$在所有的$t\ge 0$都成立，而且針對所有的$r>0$，$\beta (r,\cdot )$連續，且嚴格遞減至0。

系統(Template:EquationNote)稱為在原點全域漸近穩定（0-GAS），若對應的零輸入系統 Template:NumBlk 是全域李雅普诺夫稳定，也就是存在 $\beta \in 𝒦ℒ$使得針對所有的初值 $x_0$以及任意時間$t\ge 0$，以下有關(Template:EquationNote)解的估計都有效＞： Template:NumBlk

系統(Template:EquationNote)稱為輸入-狀態穩定性（ISS）若存在函數 $\gamma \in 𝒦$且$\beta \in 𝒦ℒ$使得針對所有初值$x_0$，所有可行的輸入$u$以及任意時間$t\ge 0$，以下的不等式都成立 Template:NumBlk

上述不等式中的函數$\gamma$稱為增益（gain）。

很明顯的，ISS系統是0-GAS系統，也有有界輸入有界輸出穩定性（若令輸出等於狀態），不過0-GAS系統不一定是ISS系統。

也可以證明若在$t\to \mathrm{\infty }$時，$|u(t)|\to 0$，則在$t\to \mathrm{\infty }$時，$|x(t)|\to 0$。

輸入-狀態穩定性質的特點

為了要瞭解輸入-狀態穩定性，需要用其他的穩定性術語來重新說明。

系統(Template:EquationNote)為全域穩定（GS），若存在 $\gamma ,\sigma \in 𝒦$，使得對於$\mathrm{\forall }u$、$\mathrm{\forall }t\ge 0$及$\mathrm{\forall }{x}_0$，下式都成立

系統(Template:EquationNote)滿足漸近增益（AG）特性，若存在$\gamma \in 𝒦$，使得對於$\mathrm{\forall }{x}_0$, $\mathrm{\forall }u$，下式都成立

以下的描述都是等效的 ：

1. (Template:EquationNote)有ISS（輸入-狀態穩定性）
2. (Template:EquationNote)是GS（全域穩定），且有AG（漸近增益）特性
3. (Template:EquationNote)是0-GAS（在原點全域漸近穩定），且有AG（漸近增益）特性

在論文中可以找到以上論述的證明，以及許多輸入-狀態穩定性的特性。

ISS-李亞普諾夫函數

ISS-李亞普諾夫函數是驗證輸入-狀態穩定性時的重要工具。

光滑函數$V:{ℝ}^n\to {ℝ}_{+}$是系統(Template:EquationNote)的ISS-李亞普諾夫函數，若$\mathrm{\exists }{\psi }_1,{\psi }_2\in {𝒦}_{\mathrm{\infty }}$, $\chi \in 𝒦$，以及[[ 正定函數 (實值連續可微函數)|正定函數]] $\alpha$，使得下式成立：

${\psi }_1(|x|)\le V(x)\le {\psi }_2(|x|),\mathrm{\forall }x\in {ℝ}^n$

以及 $\mathrm{\forall }x\in {ℝ}^n,\mathrm{\forall }u\in {ℝ}^m$，下式成立：

$|x|\ge \chi (|u|)\Rightarrow \mathrm{\nabla }V\cdot f(x,u)\le -\alpha (|x|),$

函數$\chi$稱為李亞普諾夫增益（Lyapunov gain）。

若系統(Template:EquationNote)沒有輸入（也就是$u\equiv 0$），則最後一式可以簡化如下

$\mathrm{\nabla }V\cdot f(x,u)\le -\alpha (|x|),\mathrm{\forall }x\ne 0,$

因此$V$也是（一般定義的）李亞普諾夫函數。

E. Sontag和Y. Wang得到的重要結論是系統(Template:EquationNote)為ISS，若且唯若存在光滑ISS李亞普諾夫函數。

例子

考慮一系統

$\dot{x}=-x^3+u{x}^2.$

定義候選的ISS-李亞普諾夫函數$V:ℝ\to {ℝ}_{+}$如下 $V(x)=\frac{1}{2}{x}^2,\mathrm{\forall }x\in ℝ.$

$\dot{V}(x)=\mathrm{\nabla }V\cdot (-x^3+u{x}^2)=-x^4+u{x}^3.$

選擇李亞普諾夫增益$\chi$為

$\chi (r):=\frac{1}{1-ϵ}r$.

可以得到在$x,u:|x|\ge \chi (|u|)$的條件下，下式成立

$\dot{V}(x)\le -|x{|}^4+(1-ϵ)|x{|}^4=-ϵ|x{|}^4.$

可得$V$是該系統的ISS-李亞普諾夫函數，李亞普諾夫增益為$\chi$。

其他相關概念

積分輸入-狀態穩定性（iISS）

系統(Template:EquationNote)為積分輸入-狀態穩定性（integral input-to-state stable，iISS）若存在函數$\alpha ,\gamma \in 𝒦$及$\beta \in 𝒦ℒ$，使得針對所有初值$x_0$，所有可行的輸入$u$及任意時間$t\ge 0$下，以下不等式都會成立：

積分輸入-狀態穩定性（iISS）系統和ISS系統不同，若系統是iISS系統，在有界輸入下其軌跡仍可能會成長到無限大。例如，在所有$r\ge 0$，令$\alpha (r)=\gamma (r)=r$，且令$u\equiv c=const$，則估計(Template:EquationNote)會變成以下的形式

$|x(t)|\le \beta (|x_0|,t)+\underset{0}{\overset{t}{\int }}cds=\beta (|x_0|,t)+ct,$

隨著$t\to \mathrm{\infty }$，等號右側會趨近無限大 $t\to \mathrm{\infty }$。

局部輸入-狀態穩定性（LISS）

局部輸入-狀態穩定性也是一種輸入-狀態穩定性的特性。系統(Template:EquationNote)為局部輸入-狀態穩定性（locally ISS、LISS）若存在常數$\rho >0$、函數 $\gamma \in 𝒦$及$\beta \in 𝒦ℒ$使得：針對所有$x_0\in {ℝ}^n:|x_0|\le \rho$，所有可行的輸入$u:\Vert u{\Vert }_{\mathrm{\infty }}\le \rho$及任意時間$t\ge 0$，下式都成立

可以觀察到0-GAS系統會有LISS系統的特性。

其他的穩定性

也有其他人提出和輸入-狀態穩定性有關的穩定性特性，例如增量輸入-狀態穩定性（incremental ISS）、輸入至輸出動態穩定性（input-to-state dynamical stability、ISDS）、輸入至輸出實務穩定性（input-to-state practical stability、ISpS）、輸入至輸出穩定性（input-to-output stability、IOS）等。

時滯系統的ISS

考慮非時變的时滞微分方程

其中$x^t\in C([-\theta ,0];{ℝ}^N)$是系統(Template:EquationNote)在時間$t$的狀態，$x^t(\tau )=x(t+\tau ),\tau \in [-\theta ,0]$及$f:C([-\theta ,0];{ℝ}^N)\times {ℝ}^m$需滿足特定假設，以確保系統(Template:EquationNote)的解存在且唯一。

系統(Template:EquationNote)為ISS，若且唯若存在函數$\beta \in 𝒦ℒ$及$\gamma \in 𝒦$，使得針對所有$\xi \in C([-\theta ,0],{ℝ}^N)$，所有可行的輸入，在任意時間$t\in {ℝ}_{+}$下，下式都成立

在時滯系統的ISS理論中，提出了二個不同的李亞普諾夫型的充份條件：透過ISS Lyapunov-Razumikhin函數及ISS Lyapunov-Krasovskii泛函。有些論文有提到有關時滯系統的逆李亞普諾夫定理。

其他類型系統的輸入-狀態穩定性

以非時變常微分方程為基礎的輸入-狀態穩定性是已有相當發展的理論。也有研究者將此理論應用在其他的系統中，例如時變系統、混合系統。近來也有人提出，將輸入-狀態穩定性的一些概念擴展到無限維系統的想法。