赫爾德條件

數學上，稱${ℝ}^n$上的實值函數$f$適合赫爾德條件，或稱赫爾德連續，當存在非負常數$C$，$\alpha$，使得$\mathrm{\forall }x,y\in {ℝ}^n$,

$|f(x)-f(y)|\le C|x-y{|}^{\alpha }.$

這條件可以推廣至任何兩個度量空間之間的函數。$\alpha$稱為赫爾德條件的指數。如果$\alpha =1$，則函數適合利普希茨條件。如果$\alpha =0$，則函數不過是有界的。

由適合某個赫爾德條件的函數組成的赫爾德空間，在泛函分析有關解偏微分方程的領域有基本地位。記$\mathrm{\Omega }$為某個歐幾里得空間的開集，赫爾德空間$C^{n,\alpha }(\mathrm{\Omega })$所包含的函數，是直到n階微分都適合指數$\alpha$的赫爾德條件。這是拓撲向量空間，可以定義半範數：

$|f{|}_{C^{0,\alpha }}=\underset{x,y\in \mathrm{\Omega }}{\sup }\frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y{|}^{\alpha }},$

對$n\ge 0$，下式給出範數：

$\Vert f{\Vert }_{C^{n,\alpha }}=\Vert f{\Vert }_{C^n}+\underset{|\beta |=n}{\max }|D^{\beta }f{|}_{C^{0,\alpha }}$

其中$\beta$涵蓋所有多重指標，而

$\Vert f{\Vert }_{C^n}=\underset{|\beta |\le n}{\max }\underset{x\in \mathrm{\Omega }}{\sup }|D^{\beta }f(x)|$

$C^{0,\alpha }(ℝ)$的例子

• 如果$0<\alpha \le \beta \le 1$，那麼所有$C^{0,\beta }$赫爾德連續函數都是$C^{0,\alpha }$赫爾德連續的。這也包括了$\beta =1$(这里需要集合是有界的)，所以所有利普希茨連續函數都是$C^{0,\alpha }$赫爾德連續。

• 在$[0,3]$上定義函數$f(x)=\sqrt{x}$，$f$不是利普希茨連續；但對$\alpha \le \frac{1}{2}$，$f$是$C^{0,\alpha }$赫爾德連續。