菱形三十面體

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在幾何學中，菱形三十面體（Template:Lang）是一個由菱形構成的三十面體^[1]，由30個全等的黃金菱形組成，具有60條邊和32個頂點，其對偶多面體為截半二十面体^[2]^[3]。由於其對偶多面體是一個半正多面體，因此這種立體也屬於卡塔蘭多面體^[4]。

性質

菱形三十面體是一個卡塔蘭立體^[5]，由30個面、60條邊和32個頂點組成^[5]，其中30面為12個全等的黃金菱形，因此是一個環帶多面體^[6]。此外，若將菱形三十面體的邊改成與每個面的幾何中心相連接^[8]，則會形成截半二十面体，因此其對偶多面體為截半二十面体^[9]。

尺寸

若對應的對偶多面體——截半二十面體邊長為單位長，則相應的菱形三十面體的體積為^[10]：

\frac{25 (5 + 2 \sqrt{5})}{16} \approx 14.8

而相應幾何體的邊長為^[10]：

a = \frac{\sqrt{10 (5 + \sqrt{5})}}{8} \approx 1.0633

由此可以推得，如果一个菱形三十面体的棱长为 $a$ ，那么其体积 $V$ 與表面积 $A$ 為^[2]：

V = 4 \sqrt{5 + 2 \sqrt{5}} a^{3} \approx 12.3107 a^{3}

A = 12 \sqrt{5} a^{2} \approx 26.8328 a^{2}

中分球半径 $r_{m}$ 與內切球半径 $r_{i}$ 为^[11]：

r_{m} = (1 + \frac{1}{\sqrt{5}}) a \approx 1.44721 a

r_{i} = \frac{φ^{2}}{\sqrt{1 + φ^{2}}} a = \sqrt{1 + \frac{2}{\sqrt{5}}} a \approx 1.37638 a

其中φ為黃金比例。

面的組成

Template:Main 組成菱形三十面體的面皆為全等的黃金菱形，其中鈍角的角度約為 116.57°，鋭角的角度約為 63.43°，兩條對角線長度與一邊長的比為 $ϕ : 1 : \sqrt{\frac{5 + \sqrt{5}}{2}}$ ，長短兩對角線長度的比值為黃金比。^[5]

分割

菱形三十面體可以被分割成20個黃金菱形六面體，包括了10個銳角Template:Link-wd和10個鈍角黃金菱形六面體^[12]^[13]。

10	10
銳角黃金菱形六面體	鈍角黃金菱形六面體

正交投影

菱形三十面體面體有四種具有特殊對稱性的正交投影，分別是以面為中心的正交投影、以邊為中心的正交投影和兩種以頂點為中心的正交投影。其中以度為三的頂點為中心的正交投影應於A₂考克斯特平面^[14]^[15]；以度為五的頂點為中心的正交投中，其所形成的菱形可以構成Template:Link-en。^[16]^[17]

正交投影
投影對稱性	[2]	[2]	[6]	[10]
投影位置	以面為中心	以邊為中心	度為3的頂點	度為5的頂點
圖像
對偶圖像

星形化體

Template:Main

菱形三十面體透過全部匹配的星形化方式^[18]能夠產生227種星形菱形三十面體^[19]^[20]。其中菱形六十面體與五複合立方體為較具代表性的星形菱形三十面體。所有的星形菱形三十面體種類非常繁多，共有358,833,098種星形菱形三十面體，其中包括了84,959個鏡像不變的立體和三億餘種具有手性鏡像的立體^[18]。

其中，菱形六十面體可以透過將菱形三十面體的菱形面沿著長的那一側向外延長稜直到相交來構造^[21]。

菱形六十面體。
五複合立方體。
完全星形菱形三十面體。

用途

由於菱形三十面體是一種面可遞的立體^[22]，換句話說，即這立體上的任意兩個面A和B，若透過旋轉或鏡射這個立體，使A移動到B原來的位置時，而兩個面仍然佔據了相同的空間區域^[23]。由於這種特性使得菱形三十面體有時會成為30面骰子的設計^[24]。

菱形三十面體亦可用於裝飾用途上。丹麥設計師Holger Strøm運用菱形三十面體的結構^[25]設計了一種可以手工製作的立體燈飾，稱為IQ-light^[26]，主要以其獨特的數學結構形成光影美感，用於製造氣氛^[27]。亦有藝術家使用菱形三十面體與立方體間的幾何關係^[2]^[28]設計出了菱形三十面體造型的收納盒^[29]。

三十面骰子。
菱形三十面體的燈飾。