维拉宿代数

Template:Expert Template:No footnotes 维拉宿代數（Virasoro algebra）是單位圓上微分算子所組成的李代數的Template:Link-en，在複數域上的無限維李代數。這與Template:Le關係密切（參看Sugawara構造）。Virasoro 代數的么正表示描繪兩維共形場論的對稱性。

定義

维拉宿代數是一李代數，生成元是

• $L_n:n\in \mathbb{Z}$,
• c ，
• 符合：$[L_m,L_n]=(m-n)L_{m+n}+{\delta }_{m+n}\frac{(m^3-m)}{12}c$

推导

维拉宿代數可以被认为是以下Template:Link-en 的 Template:Link-en:

$[l_m,l_n]=(m-n)l_{m+n}$,

$[{\overline{l}}_m,{\overline{l}}_n]=(m-n){\overline{l}}_{m+n}$,

$[l_m,{\overline{l}}_n]=0$.

对于一李代数$𝐠$, 其在复数域$𝐂$的 central extension$\tilde{g}$ 满足下列交换子:

$[\tilde{x},\tilde{y}{]}_{\tilde{g}}=[x,y{]}_g+cp(x,y),$

$[\tilde{x},c{]}_{\tilde{g}}=0,$

$[c,c{]}_{\tilde{g}}=0,$

其中$\tilde{x},\tilde{y}\in \tilde{g},x,y\in g,c\in 𝐂,p:\tilde{g}\times \tilde{g}\to 𝐂$. 由此定义, 维拉宿代數的生成元满足以下交换子

$[L_m,L_n]=(m-n)L_{m+n}+cp(m,n)$.

$p(m,n)$可以由以下条件决定:

• 交换子必须是反对易的, 所以$p(m,n)=-p(n,m)$
• 可以观察到, 如果定义以下生成元

${\hat{L}}_n=L_n+\frac{cp(n,0)}{n},n\ne 0$

${\hat{L}}_0=L_0+\frac{cp(1,-1)}{2},$

它们满足

$[{\hat{L}}_n,{\hat{L}}_0]=n{L}_n+cp(n,0)=n{\hat{L}}_n,$

$[{\hat{L}}_1,{\hat{L}}_{-1}]=2L_0+cp(1,-1)=2{\hat{L}}_0.$

比较函数$p(m,n)$的定义可以得知,$p(1,-1)$与$p(n,0)$总是可以被设为0.

• 交换子满足雅可比恒等式,即

$0=[[L_m,L_n],L_0]+[[L_n,L_0],L_m]+[[L_0,L_m],L_n]$

	$=(m-n)cp(m+n,0)+ncp(n,m)-mcp(m,n)$
	$=(m+n)p(n,m)$

所以$p(n,m)=0$如果$n\ne -m$, 即唯一的非零 central extension为$p(n,-n)$且$|n|>=2$.

• 最后计算以下雅克比恒等式

$0=[[L_{-n+1},L_n],L_{-1}]+[[L_n,L_{-1}],L_{-n+1}]+[[L_{-1},L_{-n+1}],L_n]$

$=(-2n+1)cp(1,-1)+(n+1)cp(n-1,-n+1)+(n-1)cp(-n,n)$

可知$p(m,n)$满足以下递推公式

$p(n,-n)=\frac{n+1}{n-2}p(n-1,-n+1)$

$=\frac{n+1}{n-2}\frac{n}{n-3}p(n-2,-n+2)$=...

$=\frac{n+1}{n-2}\frac{n}{n-3}...\frac{4}{1}p(2,-2)$

$=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{3})\frac{1}{2}$

$=\frac{1}{12}(n+1)n(n-1),$

其中归一化条件为$p(2,-2)=\frac{1}{2}$.综上所述, Witt algebra在复数域唯一非零的central extension, 即维拉宿代数的生成元满足以下交换子

$[L_m,L_n]=(m-n)L_{m+n}+c\frac{1}{12}(n+1)n(n-1){\delta }_{m+n,0}$.

參考

• V.G. Kac: "Infinite dimensional Lie algebras", Cambridge University Press
• V.G. Kac / A.K. Raina : "Bombay Lectures on highest weight representations" , World Scientific, Singapore
• Di Francesco / Mathieu / Senechal : "Conformal field theory", Springer Verlag
• Wakimoto: "Infinite-dimensional Lie algebras" （日語書《無限次元環》的譯本）, American Mathematical Society
• Ralph Blumenhagen/ Erik Plauschinn : "Introduction to conformal field theory: with applications to string theory", Springer Lecture notes in physics 779, Page 15