線性無關

Template:Unreferenced Template:NoteTA Template:ScienceNavigation 在線性代數裡，向量空間的一組元素中，若沒有向量可用有限個其他向量的線性組合所表示，则稱為線-{}-性無關或線-{}-性獨立（Template:Lang），反之稱為線性相關（Template:Lang）。例如在三維歐幾里得空間R³的三個向量(1, 0, 0)，(0, 1, 0)和(0, 0, 1)線性無關。但(2, −1, 1)，(1, 0, 1)和(3, −1, 2)線性相關，因為第三個是前兩個的和。

定義

假設Template:Mvar是在域Template:Mvar上的向量空間。如果${𝐯}_1,{𝐯}_2,\dots ,{𝐯}_n$是Template:Mvar的向量，若它們為線性相關，则在域K 中有非全零的元素$a_1,a_2,\dots ,a_n$，使得

$a_1{𝐯}_1+a_2{𝐯}_2+\cdots +a_n{𝐯}_n=\mathrm{𝟎}$；

或更簡略地表示成，

$\sum _{i=1}^n{a}_i{𝐯}_i=\mathrm{𝟎}$。

（注意右邊的零是Template:Mvar的零向量，不是Template:Mvar的零元素。）

如果Template:Mvar中不存在這樣的元素，那麼${𝐯}_1,{𝐯}_2,\dots ,{𝐯}_n$是線性無關。

對線性無關可以給出更直接的定義。向量${𝐯}_1,{𝐯}_2,\dots ,{𝐯}_n$線性無關，若且唯若它們滿足以下條件：如果$a_1,a_2,\dots ,a_n$是Template:Mvar的元素，適合：

$a_1{𝐯}_1+a_2{𝐯}_2+\cdots +a_n{𝐯}_n=\mathrm{𝟎}$，

那麼對所有$i=1,2,\dots ,n$都有$a_i=0$。

在Template:Mvar中的一個無限集，如果它任何一個有限子集都是線性無關，那麼原來的無限集也是線性無關。

線性相關性是線性代數的重要概念，因為線性無關的一組向量可以生成一個向量空間，而這組向量則是這向量空間的基。

相關性

• 含有零向量的向量組，必定線性相關。

若有向量組$a_1,a_2,...,a_s$，其中$a_1=0$，則$a_1=0\cdot a_2+...+0\cdot a_s$。

• 含有兩個相等向量的向量組，必定線性相關。

若有向量組$a_1,a_2,...,a_s$，其中$a_1=a_2$，則$a_1=1\cdot a_2+0\cdot a_3+...+0\cdot a_s$。

• 若一向量組相關，則加上任意個向量後，仍然線性相關；即局部線性相關，整體必線性相關。
• 整體線性無關，局部必線性無關。
• 向量個數大於向量維數，則此向量組線性相關。
• 若一向量組線性無關，即使每一向量都在同一位置處增加一分量，仍然線性無關。
• 若一向量組線性相關，即使每一向量都在同一位置處減去一分量，仍然線性相關。
• 若$a_1,a_2,...,a_s$線性無關，而$b,a_1,a_2,...,a_s$線性相關，則$b$必可由$a_1,a_2,...,a_s$線性表示，且表示係數唯一。
• 有向量組$\text{I}\{a_1,a_2,...,a_s\}$和$\text{II}\{b_1,b_2,...,b_t\}$，其中$t>s$，且$\text{II}$中每個向量都可由$\text{I}$線性表示，則向量組$\text{II}$必線性相關。即向量個數多的向量組，若可被向量個數少的向量組線性表示，則向量個數多的向量組必線性相關。
• 若一向量組$b_1,b_2,...,b_t$可由向量組$a_1,a_2,...,a_s$線性表示，且$b_1,b_2,...,b_t$線性無關，則$t\le s$。即線性無關的向量組，無法以向量個數較少的向量組線性表示。

例子1

设V = Rⁿ，考虑V内的以下元素：

$\begin{array}{ccc}{𝐞}_1& =& (1,0,0,\dots ,0)\\ {𝐞}_2& =& (0,1,0,\dots ,0)\\ & ⋮\\ {𝐞}_n& =& (0,0,0,\dots ,1).\end{array}$

则e₁、e₂、……、e_n是线性无关的。

证明

假设a₁、a₂、……、a_n是R中的元素，使得：

$a_1{𝐞}_1+a_2{𝐞}_2+\cdots +a_n{𝐞}_n=0.$

由于

$a_1{𝐞}_1+a_2{𝐞}_2+\cdots +a_n{𝐞}_n=(a_1,a_2,\dots ,a_n),$

因此对于{1, ..., n}内的所有i，都有a_i = 0。

例子2

设V是实变量t的所有函数的向量空间。则V内的函数e^t和e^2t是线性无关的。

证明

假设a和b是两个实数，使得对于所有的t，都有：

ae^t + be^2t = 0

我们需要证明a = 0且b = 0。我们把等式两边除以e^t（它不能是零），得：

be^t = −a

也就是说，函数be^t与t一定是独立的，这只能在b = 0时出现。可推出a也一定是零。

例子3

R⁴内的以下向量是线性相关的。

$\begin{array}{c}\\ \left[\begin{array}{c}1\\ 4\\ 2\\ -3\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}7\\ 10\\ -4\\ -1\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 5\\ -4\end{array}\right]\\ \end{array}$

证明

我们需要求出标量${\lambda }_1$、${\lambda }_2$和${\lambda }_3$，使得：

$\begin{array}{c}\\ {\lambda }_1\left[\begin{array}{c}1\\ 4\\ 2\\ -3\end{array}\right]+{\lambda }_2\left[\begin{array}{c}7\\ 10\\ -4\\ -1\end{array}\right]+{\lambda }_3\left[\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 5\\ -4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right].\end{array}$

可以形成以下的方程组：

$\begin{array}{ccccc}{\lambda }_1& +7{\lambda }_2& & -2{\lambda }_3& =0\\ 4{\lambda }_1& +10{\lambda }_2& & +{\lambda }_3& =0\\ 2{\lambda }_1& -4{\lambda }_2& & +5{\lambda }_3& =0\\ -3{\lambda }_1& -{\lambda }_2& & -4{\lambda }_3& =0\\ \end{array}$

解这个方程组（例如使用高斯消元法），可得：

$\begin{array}{cc}{\lambda }_1& ={\lambda }_1\\ {\lambda }_2& =(-{\lambda }_1)/3\\ {\lambda }_3& =(-2{\lambda }_1)/3.\\ \end{array}$

由于它们都是非平凡解，因此这些向量是线性相关的。

参考文献

• Siegfried Bosch: Lineare Algebra. 5. Auflage, Springer, Berlin/Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-55259-5, Kapitel 1.5.