等差-等比数列

在数学上，等差-等比数列（简称差比数列，Template:Lang-en）是一个等差数列与一个等比数列相乘的积。

通项公式

等差-等比数列有如下通项公式：

$[a+(n-1)d]r^{n-1}$

其中$r$是公比，而$r^{n-1}$的系数：

$[a+(n-1)d]$

则是等差数列的项，其首项為$a$，公差$d$。

等差-等比数列的求和公式

等差-等比级数有如下形式；

$\sum _{k=1}^n[a+(k-1)d]r^{k-1}=a+(a+d)r+(a+2d)r^2+\cdots +[a+(n-1)d]r^{n-1}$

其前n项之和为；

$S_n=\sum _{k=1}^n[a+(k-1)d]r^{k-1}=\frac{a}{1-r}-\frac{[a+(n-1)d]r^n}{1-r}+\frac{dr(1-r^{n-1})}{(1-r{)}^2}.$

错位相减法

由此级数开始：

$S_n=a+(a+d)r+(a+2d)r^2+\cdots +[a+(n-1)d]r^{n-1}$

将S_n乘以r，

$r{S}_n=ar+(a+d)r^2+(a+2d)r^3+\cdots +[a+(n-1)d]r^n$

S_n减去rS_n，

$\begin{array}{ccc}{S}_n(1-r)& =& \{a+(a+d)r+(a+2d)r^2+\cdots +[a+(n-1)d]r^{n-1}\}\\ & & -\{ar+(a+d)r^2+(a+2d)r^3+\cdots +[a+(n-1)d]r^n\}\\ & =& a+[dr+d{r}^2+\cdots +d{r}^{n-1}]-[a+(n-1)d]r^n\\ & =& a+\left[\frac{dr(1-r^{n-1})}{1-r}\right]-[a+(n-1)d]r^n\end{array}$

在中间的项中使用等比数列的求和公式。最后左右两边同除以(1 − r)，得到最终结果。

逐项求导

$\sum _{k=1}^n{r}^{k-1}=\frac{r^n-1}{r-1}$

对等比数列和两边求导：

$\sum _{k=1}^n(k-1)r^{k-2}=\frac{n{r}^{n-1}}{r-1}-\frac{r^n-1}{(r-1{)}^2}$

$\sum _{k=1}^n[a+(k-1)d]r^{k-1}=a\frac{r^n-1}{r-1}+dr[\frac{n{r}^{n-1}}{r-1}-\frac{r^n-1}{(r-1{)}^2}]$

裂项法

待定系数s,t使得等差-等比数列可以裂项：

$[a+(k-1)d]r^{k-1}=(sk+t)r^k-[s(k-1)+t]r^{k-1}$

用裂项法可以求出数列和：

$\sum _{k=1}^n[a+(k-1)d]r^{k-1}=(sn+t)r^n-t$

求出待定系数s,t关于a,d,r的表达式：

$dk+a-d=s(r-1)k+(r-1)t+s$

$s=\frac{d}{r-1},t=\frac{a-d}{r-1}-\frac{d}{(r-1{)}^2}$

$\sum _{k=1}^n[a+(k-1)d]r^{k-1}=[\frac{d}{r-1}n+\frac{a-d}{r-1}-\frac{d}{(r-1{)}^2}]r^n-[\frac{a-d}{r-1}-\frac{d}{(r-1{)}^2}]$

差分算子公式

$\sum _{k=1}^{n}p(k)q^{k-1}=f(n)q^n-f(0),f(n)=\frac{p(n)}{q-1}+\frac{1}{(q-1{)}^2}\sum _{k=1}^m\frac{(-1{)}^k{q}^{k-1}}{(q-1{)}^{k-1}}{\mathrm{\Delta }}^k(p(n))=\frac{1}{q-1}\sum _{k=0}^m(\frac{-q}{q-1}{)}^k{\mathrm{\Delta }}^{k}p(n+1)$

其中$\mathrm{\Delta }p(n)=p(n+1)-p(n)$

求出各阶差分：$p(n)=a+(n-1)d,\mathrm{\Delta }p(n)=d$

$f(n)=\frac{a+(n-1)d}{r-1}-\frac{d}{(r-1{)}^2}$

$\sum _{k=1}^n[a+(k-1)d]r^{k-1}=[\frac{a+(n-1)d}{r-1}-\frac{d}{(r-1{)}^2}]r^n-[\frac{a-d}{r-1}-\frac{d}{(r-1{)}^2}]$

无穷级数

如果$-1<r<1$，那么其无穷级数为

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_n=\frac{a}{1-r}+\frac{dr}{(1-r{)}^2}$

如果$r$在上述范围之外，则该级数不是发散级数就是交错级数。

参见

• 序列