海森堡繪景

Template:NoteTA Template:量子力学

维尔纳·海森堡

海森堡繪景（Heisenberg picture）是量子力學的一種表述，因物理學者维尔纳·海森堡而命名。在海森堡繪景裏，對應於可觀察量的算符會隨著時間流易而演化，而描述量子系統的態向量則與時間無關。使用海森堡繪景，可以很容易地觀察到量子系統與經典系統之間的動力學關係。Template:Rp

海森堡繪景與薛丁格繪景、狄拉克繪景不同。在薛丁格繪景裏，描述量子系統的態向量隨著時間流易而演化，而像位置、動量一類的對應於可觀察量的算符則不會隨著時間流易而演化。Template:NoteTag在狄拉克繪景裏，態向量與對應於可觀察量的算符都會隨著時間流易而演化。

這三種繪景殊途同歸，所獲得的結果完全一致。這是必然的，因為它們都是在表達同樣的物理現象。Template:Rp

概述

為了便利分析，位於下標的符號${}_{\mathscr{H}}$、${}_{𝒮}$分別標記海森堡繪景、薛丁格繪景。

在量子力學的海森堡繪景裏，態向量$|\psi {⟩}_{\mathscr{H}}$不含時，而可觀察量的算符$A_{\mathscr{H}}$則含時，並且滿足「海森堡運動方程式」：Template:Rp

$\frac{\partial }{\partial t}{A}_{\mathscr{H}}=\frac{1}{i\hslash }[A_{\mathscr{H}},H]$；

其中，$\hslash$是約化普朗克常數，$H$是哈密頓量，$[A_{\mathscr{H}},H]$是$A_{\mathscr{H}}$與$H$的對易算符。

從某種角度來看，海森堡繪景比薛丁格繪景顯得更為自然，更具有基礎性，因為，經典力學分析物體運動所使用的物理量是可觀察量，例如，位置、動量等等，而海森堡繪景專注的就是這些可觀察量隨著時間流易的演化。進一步來看，海森堡繪景表述的量子力學與經典力學的相似可以很容易的觀察到：只要將對易算符改為帕松括號，海森堡方程式立刻就變成了哈密頓力學裏的運動方程式，其形式表示為Template:Rp

$\frac{\partial }{\partial t}A=[A,H{]}_{Poisson}$；

其中，$[,{]}_{Poisson}$是帕松括號。

通過Template:Le，可以從哈密頓力學的運動方程式得到海森堡運動方程式：

$[,{]}_{Poisson}\to \frac{[,]}{i\hslash }$。

Template:Le證明海森堡繪景與薛丁格繪景是等價的。

理論導引

在薛丁格繪景裏，負責時間演化的算符是一種么正算符，稱為時間演化算符。假設時間從$0$流易到$t$，而經過這段時間間隔，態向量$|\psi (0){⟩}_{𝒮}$演化為$|\psi (t){⟩}_{𝒮}$，這時間演化過程以方程式表示為

$|\psi (t){⟩}_{𝒮}=U(t,0)|\psi (0){⟩}_{𝒮}$；

其中，$U(t,0)$是時間從$0$流易到$t$的時間演化算符。

時間演化算符是么正算符Template:NoteTag：

$U(t,0)U^{†}(t,0)=1=U^{†}(t,0)U(t,0)$。

假設系統的哈密頓量$H$不含時，則時間演化算符為Template:RpTemplate:NoteTag

$U(t,0)=e^{-iHt/\hslash }$，

而且，時間演化算符與哈密頓量相互對易：Template:NoteTag

$HU(t,0)=U(t,0)H$。

注意到指數函數$e^{-iHt/\hslash }$必須通過其泰勒級數計算。

在海森堡繪景裏，態向量$|\psi (t){⟩}_{\mathscr{H}}$、算符$A_{\mathscr{H}}(t)$分別定義為

$|\psi (t){⟩}_{\mathscr{H}}\stackrel{def}{=}|\psi (0){⟩}_{\mathscr{H}}=|\psi (0){⟩}_{𝒮}$、

$A_{\mathscr{H}}(t)\stackrel{def}{=}{U}^{†}(t,0)A_{𝒮}U(t,0)$。

由於$U(t,0)$、$U^{†}(t,0)$對於時間的偏導數分別為

$\frac{\partial U(t,0)}{\partial t}=\frac{1}{i\hslash }HU(t,0)$、

$\frac{\partial U^{†}(t,0)}{\partial t}=-\frac{1}{i\hslash }{U}^{†}(t,0)H$。

所以，算符$A_{\mathscr{H}}(t)$對於時間的導數是Template:NoteTag

$\begin{array}{cc}\frac{d}{dt}{A}_{\mathscr{H}}(t)& =\frac{\partial U^{†}(t,0)}{\partial t}{A}_{𝒮}U(t,0)+U^{†}(t,0)A_{𝒮}\frac{\partial U(t,0)}{\partial t}\\ & =-\frac{1}{i\hslash }{U}^{†}H{A}_{𝒮}U+\frac{1}{i\hslash }{U}^{†}{A}_{𝒮}HU\\ & =-\frac{1}{i\hslash }{U}^{†}HU{U}^{†}{A}_{𝒮}U+\frac{1}{i\hslash }{U}^{†}{A}_{𝒮}U{U}^{†}HU\\ & =\frac{1}{i\hslash }[U^{†}{A}_{𝒮}U,U^{†}HU]\\ \end{array}$。

由於不含時哈密頓量在海森堡繪景的形式與在薛丁格繪景相同，可以忽略下標：Template:NoteTag

$H_{\mathscr{H}}=U^{†}{H}_{𝒮}U=H_{𝒮}=H$。

將算符的定義式納入考量，就可以得到海森堡運動方程式：

$\frac{d}{dt}{A}_{\mathscr{H}}(t)=\frac{1}{i\hslash }[A_{\mathscr{H}}(t),H]$。

期望值

在薛丁格繪景裏，可觀察量$A$的期望值為Template:Rp

$⟨A{⟩}_{𝒮}={}_{𝒮}⟨\psi (t)|A_{𝒮}|\psi (t){⟩}_{𝒮}={}_{𝒮}⟨\psi (0)|U^{†}(t,0)A_{𝒮}U(t,0)|\psi (0){⟩}_{𝒮}$。

在海森堡繪景裏，可觀察量$A$的期望值為

$⟨A{⟩}_{\mathscr{H}}={}_{\mathscr{H}}⟨\psi (t)|A_{\mathscr{H}}(t)|\psi (t){⟩}_{\mathscr{H}}={}_{\mathscr{H}}⟨\psi (0)|A_{\mathscr{H}}(t)|\psi (0){⟩}_{\mathscr{H}}$。

注意到態向量$|\psi (t){⟩}_{\mathscr{H}}$、算符$A_{\mathscr{H}}(t)$的定義式：

$|\psi (t){⟩}_{\mathscr{H}}\stackrel{def}{=}|\psi (0){⟩}_{\mathscr{H}}=|\psi (0){⟩}_{𝒮}$、

$A_{\mathscr{H}}(t)\stackrel{def}{=}{U}^{†}(t,0)A_{𝒮}U(t,0)$。

所以，這兩種期望值的表述方式等價。

貝克-豪斯多夫引理

算符$A_{\mathscr{H}}(t)$的定義式涉及到指數函數$e^{-iHt/\hslash }$，必須通過其泰勒級數計算，這是個很繁雜的過程，可以利用Template:Le來計算Template:Rp

$e^{B}A{e}^{-B}=A+[B,A]+\frac{1}{2!}[B,[B,A]]+\frac{1}{3!}[B,[B,[B,A]]]+\cdots$。

對於算符$A_{\mathscr{H}}(t)$，可以得到

$A_{\mathscr{H}}(t)=A_{\mathscr{H}}(0)+\frac{it}{\hslash }[H,A_{\mathscr{H}}(0)]-\frac{t^2}{2!{\hslash }^2}[H,[H,A_{\mathscr{H}}(0)]]-\frac{i{t}^3}{3!{\hslash }^3}[H,[H,[H,A_{\mathscr{H}}(0)]]]+\cdots$。

由於帕松括號與對易算符的關係，在哈密頓力學裏，這方程式也成立。

自由粒子範例

本節運算只涉及海森堡繪景，為了簡便起見，忽略下標$\mathscr{H}$。設想自由粒子系統，其哈密頓量為Template:Rp

$H=\frac{p^2}{2m}$。

動量$p$的海森堡運動方程式為

$\frac{d}{dt}p(t)=\frac{1}{i\hslash }[p,H]=0$。

這是因為$p$與$H$對易。所以，動量$p$是個常數：

$p(t)=p(0)$。

位置$x$的海森堡運動方程式為

$\frac{d}{dt}x(t)=\frac{1}{i\hslash }[x,H]=\frac{p}{m}$。

所以，位置與時間的關係式為

$x(t)=x(0)+\frac{p(0)}{m}t$。

換另一種方法，算符隨著時間流易而演化的方程式為

$x(t)=e^{iHt/\hslash }x(0)e^{-iHt/\hslash }$。

利用Template:Le，

$x(t)=x(0)+\frac{it}{\hslash }[H,x(0)]-\frac{t^2}{2!{\hslash }^2}[H,[H,x(0)]]-\frac{i{t}^3}{3!{\hslash }^3}[H,[H,[H,x(0)]]]+\cdots$。

注意到以下兩個對易關係式：

$[H,x(0)]=\frac{-i\hslash p(0)}{m}$、

$[H,p(0)]=0$。

將這兩個對易關係式代入，可以得到同樣的位置與時間的關係式：

$x(t)=x(0)+\frac{p(0)}{m}t$。

注意到位置在不同時間的對易子不等於零：

$[x(t),x(0)]=[\frac{p(0)t}{m},x(0)]=\frac{-i\hslash t}{m}$。

諧振子範例

本節運算只涉及海森堡繪景，為了簡便起見，忽略下標$\mathscr{H}$。設想諧振子系統，其哈密頓量為Template:Rp

$H=\frac{p^2}{2m}+\frac{m{\omega }^2{x}^2}{2}$；

其中，$\omega$為諧振子頻率。

動量算符$p$、位置算符$x$的海森堡運動方程式分別為

$\frac{d}{dt}p(t)=\frac{1}{i\hslash }[p(t),H]=-m{\omega }^{2}x(t)$、

$\frac{d}{dt}x(t)=\frac{1}{i\hslash }[x(t),H]=\frac{p(t)}{m}$。

再求這兩個方程式對於時間的導數，

$\frac{d^2}{d{t}^2}p(t)=\frac{-m{\omega }^2}{i\hslash }[x(t),H]=-{\omega }^{2}p(t)$、

$\frac{d^2}{d{t}^2}x(t)=\frac{1}{im\hslash }[p(t),H]=-{\omega }^{2}x(t)$。

設定動量算符、位置算符的初始條件分別為

$p(0)=p_0$、

$x(0)=x_0$。

則在初始時間，

$\dot{p}(0)=-m{\omega }^2{x}_0$、

$\dot{x}(0)=\frac{p_0}{m}$。

所以，二次微分方程式的解答分別是

$p(t)=p_0\cos (\omega t)-m\omega x_0\sin (\omega t)$、

$x(t)=x_0\cos (\omega t)+\frac{p_0}{m\omega }\sin (\omega t)$。

稍加運算，可以得到海森堡繪景裏的對易關係：

$[p(t_1),p(t_2)]=i\hslash m\omega \sin (\omega t_2-\omega t_1)$、

$[x(t_1),x(t_2)]=\frac{i\hslash }{m\omega }\sin (\omega t_2-\omega t_1)$、

$[x(t_1),p(t_2)]=i\hslash \cos (\omega t_2-\omega t_1)$。

假若$t_1=t_2$，則立刻會得到熟悉的正則對易關係。

換另一種方法，算符隨著時間流易而演化的方程式為

$x(t)=e^{iHt/\hslash }x(0)e^{-iHt/\hslash }$。

利用Template:Le，

$x(t)=x(0)+\frac{it}{\hslash }[H,x(0)]-\frac{t^2}{2!{\hslash }^2}[H,[H,x(0)]]-\frac{i{t}^3}{3!{\hslash }^3}[H,[H,[H,x(0)]]]+\cdots$。

注意到以下兩個對易關係式：

$[H,x(0)]=\frac{-i\hslash p(0)}{m}$、

$[H,p(0)]=i\hslash m{\omega }^{2}x(0)$。

將這兩個對易關係式代入，可以得到同樣的位置與時間的關係式：

$\begin{array}{cc}x(t)& =x(0)+\frac{p(0)}{m\omega }\omega t-x(0)\frac{{\omega }^2{t}^2}{2!}-\frac{p(0)}{m\omega }\frac{{\omega }^3{t}^3}{3!}+\cdots \\ & =x(0)\cos (\omega t)+\frac{p(0)}{m\omega }\sin (\omega t)\\ \end{array}$。

類似地,也可以得到同樣的動量與時間的關係式。

各種繪景比較摘要

各種繪景隨著時間流易會呈現出不同的演化：Template:Rp

演化	海森堡繪景	交互作用繪景	薛丁格繪景
右矢	常定	$|\psi (t){⟩}_{ℐ}=e^{i{H}_{0}t/\hslash }|\psi (t){⟩}_{𝒮}$	$|\psi (t){⟩}_{𝒮}=e^{-iHt/\hslash }|\psi (0){⟩}_{𝒮}$
可觀察量	$A_{\mathscr{H}}(t)=e^{iHt/\hslash }{A}_{𝒮}{e}^{-iHt/\hslash }$	$A_{ℐ}(t)=e^{i{H}_{0}t/\hslash }{A}_{𝒮}{e}^{-i{H}_{0}t/\hslash }$	常定
密度算符	常定	${\rho }_{ℐ}(t)=e^{i{H}_{0}t/\hslash }{\rho }_S(t)e^{-i{H}_0/\hslash }$	${\rho }_{𝒮}(t)=e^{-iHt/\hslash }{\rho }_{𝒮}(0)e^{iHt/\hslash }$

延伸阅读

• Template:Cite book

參閱

• 狄拉克標記