波爾查諾-魏爾斯特拉斯定理

波爾查諾-魏爾施特拉斯定理（Template:Lang-en）是数学中，尤其是拓扑学与實分析中，用以刻畫 $ℝ^{n}$ 中的緊集的基本定理，得名於數學家伯納德·波爾查諾與卡爾·魏爾施特拉斯。波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理说明，有限维实向量空间 $ℝ^{n}$ 中的一個子集 $E$ 是序列緊緻（每個序列都有收斂子序列）当且仅当 $E$ 是有界閉集。

历史

这个定理最早由伯纳德·波尔查诺证明，當他在證明介值定理時，附帶證明了這個定理，但是他的证明已经散佚。卡尔·魏尔施特拉斯独自发现并证明了这个定理。波尔查诺-魏尔施特拉斯定理是实分析中的基本定理。

基础概念

子列：也称为子序列。一个序列 $(a_{n})_{n \in ℕ}$ 的一个子列是指在 $(a_{n})_{n \in ℕ}$ 中抽取无穷多个元素，然后按照它们在原来序列里的顺序排列起来的序列。严格的定义是：如果存在一个从 $ℕ$ 到 $ℕ$ 的严格单调递增的映射 $ϕ$ ，使得 $a_{ϕ (n)} = b_{n}, \forall n \in ℕ$ ，就称 $(b_{n})_{n \in ℕ}$ 是 $(a_{n})_{n \in ℕ}$ 的一个子列。
有界闭集： $ℝ^{n}$ 中的有界闭集概念建立在给定的拓扑和度量上的。由于在有限维向量空间中所有度量等价，所以可以将 $ℝ^{n}$ 视为装备了欧几里德度量的度量空间（并且可以定义相应的范数）。 $ℝ^{n}$ 的子集 $E$ 有界，当且仅当所有 $E$ 中元素 $x$ 的范数小于一个给定常数 $K$ 。注意这时对应的拓扑是欧几里德范数诱导的自然拓扑。
序列紧致：称一个集合 $S$ 是序列紧致的，是指每个由集合 $S$ 中元素所组成的数列都包含收敛的子列，并且该子列收敛到集合 $S$ 中的某个元素。

定理

波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理可以视为刻画有限维实向量空间 $ℝ^{n}$ 中序列紧致集合的定理。波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理的核心部分可以仅仅使用序列的语言来表示：

定理 1：

任一 $ℝ^{n}$ 中的有界序列 $(a_{n})_{n \in ℕ}$ 都至少包含一个收敛的子列。Template:R

从这个定理出发，在给定的有界闭集 $F$ 中任取一个序列，那么这个序列是有界的，从而至少包含一个收敛的子列。而从 $F$ 的封闭性可知，这个子列作为 $F$ 的一部分，其收敛的极限必然也在 $F$ 中。所以可以推知：

推论：

任一 $ℝ^{n}$ 中的有界闭集必然序列紧致。Template:R

这个推论给出了 $ℝ^{n}$ 中集合序列紧致的充分条件。另一方面，可以证明序列紧致的集合必然是有界闭集。这样就将充分条件推进为充要条件：

定理 2：

$ℝ^{n}$ 中的一个子集 $E$ 是序列紧致的，当且仅当 $E$ 是有界闭集。Template:R

由于有限维-{zh-cn:赋范;zh-tw:賦範}-向量空间都与装备了欧几里德范数的 $ℝ^{n}$ 同胚，所以以上的定理都可以扩展到任意有限维-{zh-hans:赋范;zh-hant:賦範}-向量空间。Template:R

证明

证明的关键是定理的核心部分，也就是定理1：任一 $ℝ^{n}$ 中的有界序列 $(a_{n})_{n \in ℕ}$ 都至少包含一个收敛的子列。

引理：

任何实数列必然包含单调的子列。Template:R

引理的证明：Template:R

设有实数列 $(a_{n})_{n \in ℕ}$ ，定义集合： $X = {a_{k}; \forall n \geq k, a_{k} \geq a_{n}}$ 。集合中的每个元素，都比序列中排在其后的所有元素都大。

如果 $X$ 中有无限个元素，在其中取下标递增的一个数列，那么这个数列是 $(a_{n})_{n \geq 0}$ 的子列，并且单调递减，构造完毕。
如果 $X$ 中元素个数有限，那么设 $N$ 为 $X$ 中元素的下标中最大的一个。对任意 $n > N$ ，考虑 $a_{n}$ ， $a_{n}$ 不在集合 $X$ 中，所以 $a_{n}$ 之后至少会有一个元素大于 $a_{n}$ 。换句话说，序列 $(a_{n})_{n \in ℕ}$ 里面排在 $a_{N}$ 後面的任一元素，它後面都必然还有一个比它大的元素。于是取 $k_{0} = N + 1$ ， $k_{1} > k_{0}$ 为第一个大于 $a_{k_{0}}$ 的元素的下标， $k_{2} > k_{1}$ 为第一个大于 $a_{k_{1}}$ 的元素的下标，依此类推，就可以得到 $(a_{n})_{n \in ℕ}$ 的一个单调递增的子列。

综上可得，任何实数列必然包含单调的子列。

定理的证明：Template:R

先考虑一维（也就是 $n = 1$ ）的情况。给定有界的实数列 $(a_{k})_{k \in ℕ}$ ，取它的一个单调子列。不妨设这个子列单调递增，由于数列有上界，依据数列的单调收敛定理，这个子列必然收敛。

对于高维（ $n ⩾ 2$ ）的情况，证明的思路是取多次子列。

设 $(a_{k})_{k \in ℕ} = (a_{1 k}, a_{2 k}, \dots, a_{n k})_{k \in ℕ} \in ℝ^{n}$ 为一个有界序列，则 $n$ 个实数列 $(a_{i k})_{k \in ℕ}, 1 \leq i \leq n$ 都是有界数列。于是存在 $(a_{k})_{k \in ℕ}$ 的子列 $(a_{ϕ_{1} (k)})_{k \in ℕ}$ 使得 $(a_{1 ϕ_{1} (k)})_{k \in ℕ}$ 收敛。但是 $(a_{ϕ_{1} (k)})_{k \in ℕ}$ 仍是有界数列，因而存在子列 $(a_{ϕ_{2} (ϕ_{1} (k))})_{k \in ℕ}$ 使得 $(a_{2 ϕ_{2} (ϕ_{1} (k))})_{\in ℕ}$ 也收敛（注意这里 $(a_{1 ϕ_{2} (ϕ_{1} (k))})_{k \in ℕ}$ 必然是收敛的）。在进行类似的 $n$ 次操作后，我们就可以得到一个子列，使得 $\forall 1 \leq i \leq n, (a_{i ϕ_{n} (\dots ϕ_{2} (ϕ_{1} (k)) \dots)})_{k \in ℕ}$ 都收敛，也就是说存在子列 $(a_{ϕ_{n} (\dots ϕ_{2} (ϕ_{1} (k)) \dots)})_{k \in ℕ}$ 收敛。证毕。

波尔查诺-魏尔斯特拉斯性质

在有限维度量空间中，波尔查诺-魏尔斯特拉斯说明了序列紧致的集合就是有界闭集。然而在一般的度量空间中，有界闭集不一定是序列紧致的。为此，拓扑学中将一般度量空间中的序列紧致称为波尔查诺-魏尔斯特拉斯性质。

定义：

设 $K$ 为度量空间 $(E; d)$ 的子集。若 $K$ 中任一序列 $(a_{n})_{n \in ℕ}$ 都包含一个收敛的子列，其极限也是 $K$ 中元素，就称 $K$ 具有波尔查诺-魏尔斯特拉斯性质。Template:R

如果度量空间本身满足波尔查诺-魏尔斯特拉斯性质，就称这个度量空间为紧空间。在度量空间中，波尔查诺-魏尔斯特拉斯性质等价于海恩-波莱尔性质：所有 $K$ 的开覆盖都有限子覆盖Template:R。

参考来源

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Fitzpatrick, Patrick M. (2006) Advanced Calculus (2nd ed.). Belmont, CA: Thompson Brooks/Cole. ISBN 0-534-37603-7.

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