極大與極小元

60的因數集$P$，以整除關係為偏序，所成的哈斯圖。紅色子集$S=\{1,2,3,4\}$有兩個極大元$3$、$4$和一個極小元$1$。$1$同時也是最小元。

数学分支序理论中，預序集子集$S$的極大元（Template:Lang-en）不小於$S$的任何元素。極小元（Template:Lang）可Template:Link-en定義，其不大於$S$的任何元素。

極大和極小的條件比最大和最小弱。預序集的子集$S$的最大元需要「大於或等於」$S$的全體元素（最小元同樣為其對偶），極大元則衹需「不小於」（例如Template:Le）。若將預序集限縮至偏序集，則至多衹有一個最大元和一個最小元，但極大、極小元皆可有多於一個。但在全序集上，最大等價於極大，最小亦等價於極小。

以集族

$S:=\{\{1,2\},\{1,2,3\},\{1,2,3,4\},\{2,3,5\}\}$

為例，其上的偏序為包含關係。當中$\{1,2\}$極小，因為不包含族中任何其他集合，反之$\{1,2,3,4\}$極大，因為不被其他集合包含。$\{1,2,3\}$則既非極小亦非極大，但$\{2,3,5\}$同時為極小、極大。相比之下，$S$無最大元和最小元。

定義

設$(P,\le )$為预序集，又設$S\subseteq P$，則$S$中關於$\le$的極大元定義為滿足以下性質的元素$m\in S$：

若有$s\in S$使$m\le s,$ 則必有$s\le m.$

與之類似，$S$中關於$\le$的Template:Visible anchor是滿足以下性質的元素$m\in S$：

若有$s\in S$使$s\le m,$ 則必有$m\le s.$

等價地，亦可將$S$關於$\le$的極小元定義為$S$關於$\ge$的極大元，其中對任意$p,q\in P$，$q\ge p$當且僅當$p\le q$。

若無明示子集$S$，則所謂極大元預設是$P$的極大元。

若預序集$(P,\le )$實為偏序集Template:註，或者限縮到$(S,\le )$是偏序集，則$m\in S$為極大當且僅當$S$無嚴格較$m$大的元素。換言之，不存在$s\in S$使$m\le s$及$m\ne s.$ 將本段的$\le$號一律換成$\ge$就得到極小元的描述。

存在性

極大/極小元不必存在。

• 例一：考慮實數系$ℝ$的區間$S=[1,\mathrm{\infty })\subseteq ℝ$。對任意元素$m\in S$，$s=m+1$仍在$S$中，但$m<s$，因此沒有元素$m$為極大。
• 例二：考慮有理數系$\mathbb{Q}$的子集$S=\{s\in \mathbb{Q}:1\le s^2\le 2\}$，因為根號2是無理數，對任何有理數$m\le \sqrt{2}$皆可找到另一有理數$s$使$m<s<\sqrt{2}$。

但在某些情況下，極大/極小元保證存在。

• 若$S$為有限非空子集，則必有極大元和極小元。（對無窮子集無此結論，如整數系$\mathbb{Z}\subseteq ℝ$就沒有極大元。）
• 佐恩引理斷言：「若偏序集$P$中，每個全序子集$S$皆有上界，則$P$至少有一個極大元。」此引理等價於良序定理和选择公理，在數學的多個分支有重要推論，例如可證任何向量空間皆有基（極大的代數無關子集），或是任何域皆有代數閉包（代數擴張偏序下的極大元）。

唯一性

極大/極小元不必唯一。

各領域例子

• 帕累托效率中，「帕累托最優」的狀態即是帕累托改善偏序下的極大元，此類極大元的集合又稱為「帕累托前緣」（Template:Lang）。
• 决策论中，Template:Link-en是Template:Link-en偏序下的極大元。
• 现代投资组合理论中，風險（以低為優）與回報（以高為優）的Template:Link-enTemplate:註下，極大元稱為效率投資組合（Template:Lang），組成的集合則為Template:Link-en。
• 集合论中，某集合為有限當且僅當其任意非空子集族（以包含關係為偏序）皆有極小元。Template:註
• 抽象代数中，需要將最大公因數的概念推廣為Template:Link-en，因為某些數系中，若干個元素的公因子集合可能有多於一個極大元（整除意義下）。
• 计算几何中，Template:Link-en是逐分量比較Template:註下的極大元。