柯西乘积

在数学上，以法国数学家奧古斯丁·路易·柯西命名的柯西乘积，是指两组数列$a_n,b_n$的离散卷积。

$c_n=\sum _{k=0}^n{a}_k{b}_{n-k}.$

该数列乘积被认为是自然数$R[\mathbb{N}]$的半群环的元素。

级数

一个特别重要的例子是考虑两个严格的形式级数（不需要收敛）$a_n,b_n$：

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n,\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_n,$

一般地，对于实数和复数，柯西乘积定义为如下的离散卷积形式：

$\left(\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n\right)\cdot \left(\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_n\right)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_n,$

这里 $c_n=\sum _{k=0}^n{a}_k{b}_{n-k},n=0,1,2,\dots$

“形式”是指我们对级数运算时不考虑是否收敛，参见形式幂级数。

人们希望，通过对两组级数做实际卷积的有限和的类推，得到无穷级数

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_n$

等于如下乘积：

$\left(\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n\right)\left(\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_n\right)$

就如同两个数列的和是有限范围一样做乘法。

在充分良态的情况下，上述式子成立。而更重要的一点，尽管这两个无穷级数可能不收敛，它们的柯西乘积仍可能存在。

示例

有穷级数

对于$i>n$、$i>m$，有$x_i=0$，$y_i=0$ 即为有穷级数，则$\sum x$和 $\sum y$ 柯西乘积可以展开为$(x_0+\cdots +x_n)(y_0+\cdots +y_m)$，因此可以直接计算乘积。

无穷级数

• 对某些$a,b\in ℝ$，构造$x_n=a^n/n!$和$y_n=b^n/n!$，由定义和二项式展开可知：

$C(x,y)(n)=\sum _{i=0}^n\frac{a^i}{i!}\frac{b^{n-i}}{(n-i)!}=\frac{(a+b{)}^n}{n!}$

形式上， $\exp (a)=\sum x$，$\exp (b)=\sum y$，我们已表明$\exp (a+b)=\sum C(x,y)$。由于该两个绝对收敛数列的柯西乘积等于两个数列极限的乘积，（见下面的证明），因此我们就可证明这个表达式对于 $a,b\in ℝ$有$\exp (a+b)=\exp (a)\exp (b)$

• 另外一个例子，令$x(n)=1$（$n\in \mathbb{N}$），则 $C(x,x)(n)=n+1$对所有$n\in \mathbb{N}$成立，则柯西乘积 $\sum C(x,x)=(1,1+2,1+2+3,1+2+3+4,\dots )$ ，该乘积不收敛。

收敛和梅尔滕斯定理

令x, y为实数数列，弗兰兹·梅尔滕斯（Franz Mertens）提出，如果级数$\sum y$收敛到Y，且级数$\sum x$绝对收敛到X，则他们的柯西乘积 $\sum C(x,y)$收敛到XY。

对于两个级数为条件收敛时，结论未必成立。如下反例所示：

例子

考虑下述两交错级数：

$a_n=b_n=\frac{(-1{)}^n}{\sqrt{n+1}},$

它们都是收敛的（其绝对值构成的级数因比较审敛法和调和级数的发散性而发散）。其柯西乘积的项由下式给出：

$c_n=\sum _{k=0}^n\frac{(-1{)}^k}{\sqrt{k+1}}\cdot \frac{(-1{)}^{n-k}}{\sqrt{n-k+1}}=(-1{)}^n\sum _{k=0}^n\frac{1}{\sqrt{(k+1)(n-k+1)}}$

其中整数 Template:Math。因为对于所有 Template:Math} 我们都有不等式 Template:Math 及 Template:Math，故对分母中的根式有 Template:Math。因此，由于共有 Template:Math 个被加项，故对于所有的整数 Template:Math有

$|c_n|\ge \sum _{k=0}^n\frac{1}{n+1}=1$

因此，Template:Math 在 Template:Math 时并不趋于 0，级数 Template:Math 发散（项测试）。

梅尔滕斯定理的证明

令$X_n=\sum _{i=0}^n{x}_i$，$Y_n=\sum _{i=0}^n{y}_i$ ，$C_n=\sum _{i=0}^{n}C(x,y)(i)$，$C_n=\sum _{i=0}^n\sum _{k=0}^i{x}_k{y}_{i-k}=\sum _{i=0}^n{Y}_i{x}_{n-i}$ (重排后)。

则$C_n=\sum _{i=0}^n(Y_i-Y)x_{n-i}+Y{X}_n$，对任意给定的 ε > 0，因为$\sum x$绝对收敛，$\sum y$收敛，因此存在一个整数N，对于任意n ≥ N $|Y_n-Y|<\frac{\epsilon /4}{\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}|x_n|+1}$ ，和存在一个正整数M，对于所有 $n\ge M$ ，有$|x_{n-N}|<\frac{\epsilon /4}{N\sup |Y_n-Y|+1}$（由级数絕對收敛，则式子收敛到0），同样的，存在一个整数L ，如果有 $n\ge L$，则 $|X_n-X|<\frac{\epsilon /2}{|Y|+1}$。

因此，对于所有n大于N, M, L，有：

$|C_n-XY|=|\sum _{i=0}^n(Y_i-Y)x_{n-i}+Y(X_n-X)|\le \sum _{i=0}^{N-1}|Y_i-Y||x_{n-i}|+\sum _{i=N}^n|Y_i-Y||x_{n-i}|+|Y||X_n-X|<\epsilon$

根据收敛的定义，即：$\sum C(x,y)\to XY.$

切萨罗定理

如果x，y是实数数列，且$\sum x\to A$，$\sum y\to B$，则有：

$\frac{1}{n}(\sum _{i=0}^{n}C(x,y{)}_n)\to AB.$

推广

所有上述证明也可推广到$ℂ$复数级数。柯西乘积可以定义在乘法为内积的欧式空间${ℝ}^n$上。这种情况下，如果两组数列绝对收敛，则柯西乘积绝对收敛到数列极限的内积 。

与卷积函数的关系

我们可以定义柯西乘积为双向无限数列，视为$\mathbb{Z}$上的函数。这种情况并非总能定义柯西乘积。例如：常数级数1和其本身的柯西乘积，$(\dots ,1,\dots )$。

有的有一些配对，比如任何级数与一个有限级数的乘积，${\ell }^1\times {\ell }^{\mathrm{\infty }}$的乘积，这与L^p空间有关。