条件期望

Template:NoteTA 在概率论中，条件期望是一个实数随机变量的相对于一个条件概率分布的期望值。换句话说，这是给定的一个或多个其他变量的值一个变量的期望值。它也被称为条件期望值或条件均值。

条件期望的概念在柯尔莫哥洛夫的测度理论概率论的定义很重要。条件概率的概念是由条件期望来定义的。

计算

设$X$和$Y$是离散随机变量，则$X$在给定事件$Y=y$条件时的条件期望是$x$的在$Y$的值域的函数

$\mathrm{E}(X|Y=y)=\sum _{x\in 𝒳}x\mathrm{P}(X=x|Y=y)=\sum _{x\in 𝒳}x\frac{\mathrm{P}(X=x,Y=y)}{\mathrm{P}(Y=y)},$

其中，$𝒳$是处于$X$的值域。

如果现在$X$是一个连续随机变量，而$Y$仍然是一个离散变量，条件期望是：

$\mathrm{E}(X|Y=y)=\underset{𝒳}{\int }x{f}_X(x|Y=y)dx$

其中，$f_X(\cdot |Y=y)$是在给定$Y=y$下$X$的条件概率密度函数。

正式的定义

给定$X$是一个定义在概率空间$(\mathrm{\Omega },{ℱ}_0,P)$上的随机变量，$ℱ\subset {ℱ}_0$是$ℱ$的一个子σ-代数，且$E|X|<\mathrm{\infty }$。 则定义$X$在给定$ℱ$下的条件期望$E(X|ℱ)$是满足以下两个条件的随机变量$Y$：

1. $Y$是$ℱ$上的可测函数；
2. $\mathrm{\forall }A\in ℱ:\underset{A}{\int }XdP=\underset{A}{\int }YdP$。

在这一定义下，$E(X|ℱ)$是存在且在几乎必然的意义下唯一的。

参看

• 全概率公式
• 全期望公式
• 联合分布

外部链接

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