李亞普諾夫方程

李亞普諾夫方程（Template:Lang-en）是控制理論中的名詞，離散李亞普諾夫方程的型式如下：

A X A^{H} - X + Q = 0

其中 $Q$ 為埃尔米特矩阵， $A^{H}$ 為 $A$ 的共轭转置。而連續李亞普諾夫方程則是

A X + X A^{H} + Q = 0

李亞普諾夫方程應用在控制理論中的許多分支中，例如稳定性分析及最优控制。李亞普諾夫方程是得名自俄羅斯數學家亞歷山大·李亞普諾夫。

在穩定性中的應用

在以下的定理中， $A, P, Q \in ℝ^{n \times n}$ ，且 $P$ 和 $Q$ 是對應矩陣。而 $P > 0$ 的意思是指 $P$ 矩陣為正定矩陣。

定理（連續時間版本）：給定任意 $Q > 0$ ，存在唯一 $P > 0$ 滿足 $A^{T} P + P A + Q = 0$ 的充份必要條件是線性系統 $\dot{x} = A x$ 是全域漸近穩定。二次函數 $V (z) = z^{T} P z$ 是李亞普諾夫函數，可以驗證系統的穩定性。

定理（離散時間版本）：給定任意 $Q > 0$ ，存在唯一 $P > 0$ 滿足 $A^{T} P A - P + Q = 0$ 的充份必要條件是線性系統 $x (k + 1) = A x (k)$ 是全域漸近穩定。 $z^{T} P z$ 為其李亞普諾夫函數。

有特殊的軟體可以求解李亞普諾夫方程。若是離散型式，常會用Kitagawa的Schur法^[1]，若是連續型式，則會用Bartels和Stewart的計算法^[2]。

定義 $vec (A)$ （向量化）運算子是將矩陣A的所有列堆起来所形成的列向量，而 $A \otimes B$ 是 $A$ 和 $B$ 的克罗内克积。兩種李亞普諾夫方程都可以用矩陣方程的解來表示。而且，若矩陣 $A$ 穩定，解也可以用積分（連續時間）或是無限項和（離散時間）來表示。

利用 $vec (A B C) = (C^{T} \otimes A) vec (B)$ 的結果，可以得到

(I_{n^{2}} - \bar{A} \otimes A) vec (X) = vec (Q)

其中 $I_{n^{2}}$ 為Template:Le的單位矩陣^[3]。可以積分或或是求解線性方程，即可以得到 $vec (X)$ 。再將各列重新整理，即可得到 $X$ 。

而且，若 $A$ 穩定，解 $X$ 也可以表示為

X = \sum_{k = 0}^{\infty} A^{k} Q (A^{H})^{k}

。

再利用克罗内克积和 $vec (A)$ 運算子，可以得到矩陣方程

(I_{n} \otimes A + \bar{A} \otimes I_{n}) vec X = - vec Q,

其中 $\bar{A}$ 是將 $A$ 各元素取共軛得到的矩陣。

類似離散時間的情形，若 $A$ 穩定，解 $X$ 也可以表示為

X = \int_{0}^{\infty} e^{A τ} Q e^{A^{H} τ} d τ

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