指标的上升和下降

在数学与数学物理中，给定流形 M 上一个张量，若在 M 已有一个非退化形式（比如黎曼度量或闵可夫斯基度量），我们可将指标上升或下降：将一个 $(k,l)$ 张量变成一个 $(k+1,l-1)$ 张量（上升）或一个 $(k-1,l+1)$ 张量（下降）。 这里记号 $(k,l)$ 用于表示张量的秩 $k+l$，有 $k$ 个上指标和 $l$ 个下指标。

可以这样做：将张量乘以共变或反变度量张量，然后做缩并。下文在对重复指标 $j$ 求和时使用爱因斯坦记号。

乘以反变度量张量（然后缩并）上升指标：

$g^{ij}{A}_j=A^i,$

而乘以共变度量张量（然后缩并）下降指标：

$g_{ij}{A}^j=A_i,$

对同一个指标先上升然后下降（或顺序相反）得到原来的张量，这反应了共变度量张量与反变度量张量互逆：

$g^{ij}{g}_{ji}=g_{ij}{g}^{ji}=g_i^i=Trg=N.$

这里 N 是流形的维数。注意下降一个指标不要求形式非奇异，但相反的过程需要非奇异条件。

广义相对论中的例子

闵可夫斯基空间具有度量张量

$g_{\mu \nu }=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& -1& 0& 0\\ 0& 0& -1& 0\\ 0& 0& 0& -1\end{array}\right)$

共变电磁张量由下式给出

$F^{\mu \nu }=\left[\begin{array}{cccc}0& -E_x/c& -E_y/c& -E_z/c\\ E_x/c& 0& -B_z& B_y\\ E_y/c& B_z& 0& -B_x\\ E_z/c& -B_y& B_x& 0\end{array}\right]$

注意：一些教材，比如 Griffiths，可能有一个因子 -1。这是因为他们使用了度量张量与此处差一个符号，参见度量符号。老教材比如 Jackson 2ed 没有因子 c；他们使用高斯单位，这里使用国际单位制。

为了得到共变张量 $F_{\mu \nu }$，我们用

$F_{\mu \nu }=g_{\mu \kappa }{g}_{\nu \lambda }{F}^{\kappa \lambda }$

注意因为 $g_{\mu \nu }$ 是对角的，上式中许多项其实没有：

$F_{\mu \nu }=g_{\mu \mu }{g}_{\nu \nu }{F}^{\mu \nu }$

对指标 1、2、3 使用拉丁字母：

$F_{ij}=g_{ii}{g}_{jj}{F}^{ij}=F^{ij}$

因为度量张量中的因子都是 -1。

$F_{ii}=(g_{ii}{)}^2{F}^{ii}=F^{ii}$

$F_{0i}=g_{00}{g}_{ii}{F}^{0i}=-F^{0i}$

类似

$F_{i0}=-F^{i0}$

将它们放在一起，我们得到：

$F_{\mu \nu }=\left[\begin{array}{cccc}0& E_x/c& E_y/c& E_z/c\\ -E_x/c& 0& -B_z& B_y\\ -E_y/c& B_z& 0& -B_x\\ -E_z/c& -B_y& B_x& 0\end{array}\right]$

相关条目

• 爱因斯坦记号
• 度量张量
• 音乐同构