指数积分

在数学中，指数积分是函数的一种，它不能表示为初等函数。

定义

对于实数x，指数积分Ei(x)可以定义为：

Ei (x) = \int_{- \infty}^{x} \frac{e^{t}}{t} d t .

其中 $e^{t}$ 为指数函数。以上的定义可以用于正数x，但这个积分必须用柯西主值的概念来理解。

对于自变量是复数的情形，这个定义就变得模棱两可了^[1]。为了避免歧义，我们使用以下的记法：

E_{1} (z) = \int_{z}^{\infty} \frac{e^{- t}}{t} d t, | A r g (z) | < π .

当自变量的实数部分为正时，可以转换为：

E_{1} (z) = \int_{1}^{\infty} \frac{e^{- t z}}{t} d t, ℜ (z) \geq 0 .

Ei与E₁有以下关系：

E i (- x \pm i 0) = - E_{1} (x) \mp i π, (x > 0)

- E i (x) = \frac{1}{2} E_{1} (- x + i 0) + \frac{1}{2} E_{1} (- x - i 0), (x > 0) .

指数积分可以用以下的收敛级数来表示：

Ei (x) = γ + \ln x + \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{x^{k}}{k k!}, x > 0

E_{1} (z) = - γ - \ln z + \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{k + 1} z^{k}}{k k!}, R e (z) > 0

其中 $γ \approx 0.5772156649015328606 . . .$ 是欧拉-马歇罗尼常数。这个级数在自变量为任何复数时都是收敛的，但Ei的定义则需要 $x > 0$ 。

自变量的值较大时，用以上的收敛级数来计算指数积分是困难的。在这种情况下，我们可以使用发散（或渐近）级数：

E_{1} (z) = \frac{\exp (- z)}{z} [\sum_{n = 0}^{N - 1} \frac{n!}{(- z)^{n}} + 𝒪 (\frac{N!}{z^{N}})]

这个截断和可以用来计算 $R e (z) ≫ 1$ 时函数的值。级数中的项数越多，自变量的实数部分就应该越大。

图中描述了以上估计的相对误差。

$E_{1}$ 在自变量较大时的表现类似指数函数，自变量较小时类似对数函数。 $E_{1}$ 是位于以下两个函数之间的：

\frac{\exp (- x)}{2} \ln (1 + \frac{2}{x}) < E_{1} (x) < \exp (- x) \ln (1 + \frac{1}{x}) x > 0

这个不等式的左端在图中用蓝色曲线来表示，中间的黑色曲线是 $E_{1} (x)$ ，不等式的右端用红色曲线来表示。

指数积分与对数积分li(x)有密切的关系：

li(x) = Ei (ln (x)) 对于所有正实数x ≠ 1。

另外一个有密切关系的函数，具有不同的积分限：

E_{1} (x) = \int_{1}^{\infty} \frac{e^{- t x}}{t} d t = \int_{x}^{\infty} \frac{e^{- t}}{t} d t .

这个函数可以视为把指数积分延伸到负数：

E i (- x) = - E_{1} (x) .

我们可以把两个函数都用整函数来表示：

E i n (x) = \int_{0}^{x} (1 - e^{- t}) \frac{d t}{t} = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{k + 1} x^{k}}{k k!} .

利用这个函数，我们可以用对数来定义：

E_{1} (z) = - γ - \ln z + E i n (z), | A r g (z) | < π

以及

E i (x) = γ + \ln x - E i n (- x), x > 0 .

指数积分还可以推广为：

E_{n} (x) = \int_{1}^{\infty} \frac{e^{- x t}}{t^{n}} d t,

它是不完全伽玛函数的一个特例：

E_{n} (x) = x^{n - 1} Γ (1 - n, x) .

这个推广的形式有时成为Misra函数 $φ_{m} (x)$ ，定义为：

φ_{m} (x) = E_{- m} (x) .

函数 $E_{n}$ 与 $E_{1}$ 的导数有以下简单的关系：

E_{n}' (z) n - 1 (z), (| A r g (z) | < π, n > 0)

然而，这里假设了 $n$ 是整数；复数 $n$ 的推广还没有在文献中报导，虽然这种推广是有可能的。在 y=2^x的圖形中，其導函數在任意x值所對應的y值為原函數的0.693倍。

从以下的表示法中

E_{1} (z) = \int_{1}^{\infty} \frac{\exp (- z t)}{t} d t, (R e (z) \geq 0)

可以看出指数积分与正弦积分（Si）和余弦积分（Ci）之间的关系：

E_{1} (i x) = - \frac{π}{2} + S i (x) - i \cdot C i (x), (x > 0)

图中的黑色和红色曲线分别描述了 $E_{1} (x)$ 的实数和虚数部分。

Press, William H. et al. Numerical Recipes (FORTRAN). Cambridge University Press, New York: 1989.
Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972. (See Chapter 5) Template:Wayback