拟凸函数

拟凸函数（Quasiconvex function）是一类定义在实向量空间的区间或凸子集上的实值函数，且满足对任意实数 $a$ ， $(- \infty, a)$ 的原像都是凸集。反之如果原像都是凹集，则称为拟凹函数。

凸函数一定是拟凸函数，但反之则不然，因此拟凸函数是一个更广泛的概念。凹函数的情况也类似。

定义与性质

设函数 $f : S \to ℝ$ 定义在实向量空间的凸子集 $S$ 上。我们称 $f$ 是拟凸的，如果对任意的 $x, y \in S$ 和 $λ \in [0, 1]$ 都有

f (λ x + (1 - λ) y) \leq \max {f (x), f (y)}

。

另一种等价的定义则是任何的 $S_{α} (f) = {x ∣ f (x) \leq α}$ 都是凸集。

如果有 $f (λ x + (1 - λ) y) < \max {f (x), f (y)}$ ，则称 $f$ 是严格拟凸的。

类似地，可以定义拟凹函数和严格拟凹函数。我们称 $f$ 是拟凹的，如果对任意的 $x, y \in S$ 和 $λ \in [0, 1]$ 都有

f (λ x + (1 - λ) y) \geq \min {f (x), f (y)}

。

如果有 $f (λ x + (1 - λ) y) > \min {f (x), f (y)}$ ，则称 $f$ 是严格拟凹的。

如果一个函数既是拟凸的又是拟凹的，则称其为拟线性的。