拋物柱面坐標系

拋物柱面坐標系的幾個坐標曲面。紅色拋物柱面的 $\sigma =2$ 。黃色拋物柱面的 $\tau =1$ 。藍色薄面的 $z=2$ 。z-軸是垂直的，以白色表示。 x-軸以綠色表示。三個曲面相交於點 P （顯示為黑色的圓球），直角坐標大約為 $(2,-1.5,2)$ 。

拋物線坐標系的 $\sigma$ 和 $\tau$ 的等值曲線。横軸與縱軸分別為 x-軸與 y-軸。拋物線坐標系可以往 z-軸延伸。對於任意 z-坐標，這曲線圖都正確無誤。

拋物柱面坐標系（Template:Lang-en）是一種三維正交坐標系。往 z-軸方向延伸二維的拋物線坐標系 ，則可得到拋物柱面坐標系。其坐標曲面是共焦的拋物柱面。拋物柱面坐標可以應用於許多物理問題。例如，物體邊緣的位勢論。

基本定義

直角坐標 $(x,y,z)$ 可以用拋物柱面坐標 $(\sigma ,\tau ,z)$ 表示為

$x=\sigma \tau$ 、

$y=\frac{1}{2}({\tau }^2-{\sigma }^2)$ 、

$z=z$ ；

其中，$\sigma \ge 0$ ，$\tau \ge 0$ 。

坐標 $\sigma$ 為常數的曲線形成共焦的，凹性往 +y-軸的拋物柱面：

$2y=\frac{x^2}{{\sigma }^2}-{\sigma }^2$ ，

而坐標 $\tau$ 為常數的曲線形成共焦的，凹性往 -y-軸的拋物柱面：

$2y=-\frac{x^2}{{\tau }^2}+{\tau }^2$ 。

這些拋物柱面的焦線的位置都在 z-軸。

徑向距 $r$ 的公式為

$r=\sqrt{x^2+y^2}=\frac{1}{2}({\sigma }^2+{\tau }^2)$。

當解析經典力學的反平方連心力問題時，假若採用拋物柱面坐標的哈密頓-亞可比方程式，則會用到這很有用的公式。參閱 拉普拉斯-龍格-冷次向量Template:Broken anchor。

標度因子

拋物柱面坐標 $\sigma$ 與 $\tau$ 的標度因子相等；而 $z$ 的標度因子是 1 ：

$h_{\sigma }=h_{\tau }=\sqrt{{\sigma }^2+{\tau }^2}$ 、

$h_z=1$ 。

無窮小體積元素是

$dV=({\sigma }^2+{\tau }^2)d\sigma d\tau dz$ 。

拉普拉斯算子是

${\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Phi }=\frac{1}{{\sigma }^2+{\tau }^2}(\frac{{\partial }^2\mathrm{\Phi }}{\partial {\sigma }^2}+\frac{{\partial }^2\mathrm{\Phi }}{\partial {\tau }^2})+\frac{{\partial }^2\mathrm{\Phi }}{\partial z^2}$。

其它微分算子，像 $\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅$ 、$\mathrm{\nabla }\times 𝐅$ ，都可以用 $(\sigma ,\tau ,z)$ 坐標表示，只要將標度因子代入在正交坐標系條目內對應的一般公式。

應用

拋物柱面坐標有一個經典的應用，這是在解析像拉普拉斯方程或亥姆霍茲方程這類的偏微分方程式。在這些方程式裏，拋物柱面坐標允許分離變數法的使用。個典型的例題是，有一塊半無限的平板導體，請問其周圍的電場為什麼？應用拋物柱面坐標，我們可以精緻地分析這例題。

參考文獻

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• Template:Cite book Same as Morse & Feshbach (1953), substituting u_k for ξ_k。

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外部連結

• 數學世界的拋物柱面坐標系頁面 Template:Wayback