广义超几何函数

Template:NoteTA 广义超几何函数（generalized hypergeometric function），有时也称超几何函数，是一个用幂级数定义的函数，其中幂级数的系数由若干个升阶乘的积和商给出。下文中用“超几何函数”一词代指广义超几何函数，而用“高斯超几何函数”一词代指 Template:Math、 Template:Math 时的广义超几何函数。

定义与记号

超几何函数是用幂级数定义的：

${\beta }_0+{\beta }_1\frac{z}{1!}+{\beta }_2\frac{z^2}{2!}+\dots =\sum _{n⩾0}{\beta }_n\frac{z^n}{n!}$

其中相邻两项的系数之比 Template:Mvar_{Template:Mvar+1}/Template:Mvar_{Template:Mvar} 是关于 Template:Mvar 的有理函数，分子和分母都可以表示成若干个一次函数的乘积。一般要求分子和分母的多项式的最高次系数均为 1，并取 Template:Mvar₀=1，于是

$\frac{{\beta }_{n+1}}{{\beta }_n}=\frac{A(n)}{B(n)}=\frac{\prod _{i=1}^p(a_i+n)}{\prod _{i=1}^q(b_i+n)},\mathrm{\forall }n⩾0$

于是用阶乘幂可以将 Template:Mvar_{Template:Mvar} 表示为

${\beta }_n=\frac{\prod _{i=1}^p(a_i{)}^{(n)}}{\prod _{i=1}^q(b_i{)}^{(n)}}$

一般用下面的记号来表示超几何函数：

${}_p{F}_q(a_1,a_2,a_3,\dots ,a_p;b_1,b_2,b_3,\dots ,b_q;z)={}_p{F}_q[\begin{array}{ccccc}{a}_1& a_2& a_3& \dots & a_p\\ b_1& b_2& b_3& \dots & b_q\end{array};z]=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{\prod _{i=1}^p(a_i{)}^{(n)}}{\prod _{i=1}^q(b_i{)}^{(n)}}\frac{z^n}{n!}$

当 Template:Mvar_{Template:Mvar} 都不是非正整数（即负整数和 0）时，要求所有的 Template:Mvar_{Template:Mvar} 都不是非正整数。当有至少一个 Template:Mvar_{Template:Mvar} 是非正整数，且其中最大（绝对值最小）者为 Template:Mvar 时，超几何函数将截断为 Template:Mvar 次多项式，这时允许 Template:Mvar_{Template:Mvar} 中存在非正整数，但要求这些非正整数都小于 Template:Mvar。这都是为了保证在所有的 Template:Mvar_{Template:Mvar}中，分母不为零。

敛散性

下面讨论用来定义超几何函数的幂级数以零为中心的收敛半径。

当超几何函数截断为多项式时，显然收敛半径是无穷大。

除去这种特殊情况之外，用比值审敛法可知，当 Template:Mvar<Template:Mvar+1 时，收敛半径为无穷大，当 Template:Mvar=Template:Mvar+1 时，收敛半径为 1，剩下的情况收敛半径为 0（这时一般把超几何函数中对应的幂级数视作渐近级数，而函数本身则采用其它方式定义，如积分表达式）。

当级数的收敛半径为 1 时，级数在单位圆外不收敛，但仍然可以通过解析延拓来定义超几何函数的值。另外，此时在单位圆上的敛散性较为复杂，不能使用比值审敛法，必须使用高斯审敛法来判断，结果如下，令

${\gamma }_q=\sum _{k=1}^q{b}_k-\sum _{k=1}^p{a}_k,r=\mathrm{\Re }({\gamma }_q)$

则

• 当 Template:Mvar>0 时，级数在单位圆上绝对收敛；
• 当 0≥Template:Mvar>-1 时，级数在单位圆上除 Template:Mvar=1 外收敛，但不绝对收敛；
• 当 -1≥Template:Mvar 时，级数在单位圆上发散。

积分表达式

复平面上的路径积分可以用来定义所有 Template:Mvar_{Template:Mvar} 都不是非正整数时的广义超几何函数，包括上面说到的 Template:Mvar≥Template:Mvar+1 的情形。

下面只介绍 Template:Mvar+1>Template:Mvar 且级数不截断为多项式的情形（其它情形下，上面的幂级数定义已经是良好的定义，而下面的积分不收敛），这时超几何函数可以定义为：

$(\prod _{k=1}^p\mathrm{\Gamma }(a_k)/\prod _{k=1}^q\mathrm{\Gamma }(b_k)){}_p{F}_q[\begin{array}{ccccc}{a}_1& a_2& a_3& \dots & a_p\\ b_1& b_2& b_3& \dots & b_q\end{array};z]=\frac{1}{2\pi i}\underset{-i\mathrm{\infty }}{\overset{+i\mathrm{\infty }}{\int }}(\prod _{k=1}^p\mathrm{\Gamma }(a_k+s)/\prod _{k=1}^q\mathrm{\Gamma }(b_k+s))\mathrm{\Gamma }(-s)(-z{)}^s\mathrm{d}s$

当 Template:Mvar=Template:Mvar 且级数不截断为多项式时，超几何函数既可以用上面的积分来定义，也可以用超几何级数定义。可以证明，两种定义是等价的，且定义出来的超几何函数都是整函数；

当 Template:Mvar=Template:Mvar+1 且级数不截断为多项式时，超几何函数既可以用上面的积分来定义，也可以用超几何级数定义，但级数定义只在 |Template:Mvar|<1 时有效，在这个区域内，两种定义是等价的，上式提供了级数定义的一个解析延拓；

当 Template:Mvar>Template:Mvar+1 且级数不截断为多项式时，超几何函数只能通过积分表达式定义，对应的超几何级数只在 Template:Mvar =0 处收敛，其它情况均发散，它是积分定义的超几何函数在 Template:Mvar=0 处的渐近级数，即

${}_p{F}_q[\begin{array}{ccccc}{a}_1& a_2& a_3& \dots & a_p\\ b_1& b_2& b_3& \dots & b_q\end{array};z]\approx \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{\prod _{i=1}^p(a_i{)}^{(n)}}{\prod _{i=1}^q(b_i{)}^{(n)}}\frac{z^n}{n!},p>q+1,z\to 0,|\arg z|<(p+1-q)\frac{\pi }{2}$

超几何函数的性质

特殊值

${}_p{F}_q[\begin{array}{c}{a}_1,\dots ,a_p\\ b_1,\dots ,b_q\end{array};0]=1$

欧拉积分变换

${}_{p+1}{F}_{q+1}[\begin{array}{c}{a}_1,\dots ,a_p,c\\ b_1,\dots ,b_q,d\end{array};z]=\frac{\mathrm{\Gamma }(d)}{\mathrm{\Gamma }(c)\mathrm{\Gamma }(d-c)}\underset{0}{\overset{1}{\int }}{t}^{c-1}(1-t{)}_{}^{d-c-1}{}_p{F}_q[\begin{array}{c}{a}_1,\dots ,a_p\\ b_1,\dots ,b_q\end{array};tz]dt$

导函数

$\begin{array}{cc}(z\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}+a_j){}_p{F}_q[\begin{array}{c}{a}_1,\dots ,a_j,\dots ,a_p\\ b_1,\dots ,b_q\end{array};z]& =a_j{}_p{F}_q[\begin{array}{c}{a}_1,\dots ,a_j+1,\dots ,a_p\\ b_1,\dots ,b_q\end{array};z]\\ (z\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}+b_k-1){}_p{F}_q[\begin{array}{c}{a}_1,\dots ,a_p\\ b_1,\dots ,b_k,\dots ,b_q\end{array};z]& =(b_k-1){}_p{F}_q[\begin{array}{c}{a}_1,\dots ,a_p\\ b_1,\dots ,b_k-1,\dots ,b_q\end{array};z]\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}{}_p{F}_q[\begin{array}{c}{a}_1,\dots ,a_p\\ b_1,\dots ,b_q\end{array};z]& =\frac{\prod _{i=1}^p{a}_i}{\prod _{j=1}^q{b}_j}{}_p{F}_q[\begin{array}{c}{a}_1+1,\dots ,a_p+1\\ b_1+1,\dots ,b_q+1\end{array};z]\end{array}$

由上面三个关系式可以得到超几何函数满足的微分方程：

$z\prod _{n=1}^p(z\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}+a_n)w=z\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\prod _{n=1}^q(z\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}+b_n-1)w,w(z)={}_p{F}_q[\begin{array}{c}{a}_1,\dots ,a_p\\ b_1,\dots ,b_q\end{array};z]$.

特例

₀Template:Mvar₀

就是指数函数。

${}_0{F}_0(;;z)=e^z$

₁Template:Mvar₀

${}_1{F}_0(a;;z)=(1-z{)}^{-a}.$

₀Template:Mvar₁

称为合流超几何极限函数（confluent hypergeometric limit functions），与贝塞尔函数有密切关联。

$J_{\alpha }(x)=\frac{(\frac{x}{2}{)}^{\alpha }}{\mathrm{\Gamma }(\alpha +1)}\cdot {}_0{F}_1(;\alpha +1;-\frac{1}{4}{x}^2).$

₁Template:Mvar₁ 和 ₂Template:Mvar₀

Template:Main ₁Template:Mvar₁ 就是（第一类）合流超几何函数，也称 Kummer 函数。

${}_1{F}_1(a;b;z)=M(a;b;z)$

另一方面，₂Template:Mvar₀ （此函数的级数表达式不收敛，因此必须通过积分表达式定义）与第二类合流超几何函数（又称Tricomi 函数）有如下关系：

$U(a,b,z)=z^{-a}\cdot {}_2{F}_0(a,a-b+1;;-z^{-1})$

事实上，它们都可以表示为高斯超几何函数的极限，

${}_1{F}_1(a;c;z)=\underset{b\to \mathrm{\infty }}{\lim }{}_2{F}_1(a,b;c;z/b)$

${}_2{F}_0(a,b;;z)=\underset{c\to \mathrm{\infty }}{\lim }{}_2{F}_1(a,b;c;cz)$

类似地，_{Template:Mvar}Template:Mvar_{Template:Mvar} 都可以表示成 _{Template:Mvar+1}Template:Mvar_{Template:Mvar} 或 _{Template:Mvar}Template:Mvar_{Template:Mvar+1} 的极限。

不完全伽玛函数与这两个函数有关联：

$\gamma (a,z)=\frac{z^a}{a}M(a,a+1,-z),a\notin {\mathbb{Z}}_0^{-}$

$\mathrm{\Gamma }(a,z)=e^{-z}U(1-a,1-a,z)$

₂Template:Mvar₁

Template:Main 就是高斯超几何函数，一般又简称超几何函数。

多重对数函数

Template:Main 当 Template:Mvar 为非负整数时，多重对数函数 Li_{Template:Mvar} 可以用超几何函数表示：

${\mathrm{L}\mathrm{i}}_s(z)=z\cdot {}_{s+1}{F}_s[\begin{array}{c}1,\dots ,1\\ 2,\dots ,2\end{array};z]$

参考

• Template:Dlmf
• Template:Cite arXiv