希尔伯特符号

在数学中，如果给定一个局部域 $K$，比如说实数域或p-进数域，设其去掉0后的乘法群为K^×，则希尔伯特符号是一个关于K^×的由互反律抽离而来的代数建构。希尔伯特符号得名于数学家大卫·希尔伯特。

具体来说，希尔伯特符号是一个从 K^× × K^× 射到 {−1,1} 的函数 $h(\cdot ,\cdot )$ ：

$h(a,b)=\{\begin{array}{c}+1\\ -1\end{array}$	如果方程 $z^2=a{x}^2+b{y}^2$ 有非零的正整数解 $(x,y,z)$
	如果方程 $z^2=a{x}^2+b{y}^2$ 只有零解

.

；

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性质

由定义可以直接得到希尔伯特符号的三个性质：

• 如果 $a$ 是完全平方数，那么对任意的 $b$，都有$h(a,b)=1$。
• 对${𝐊}^{\times }$中任意 $a$、$b$，$h(a,b)=h(b,a)$。
• 如果 $a\in {𝐊}^{\times }$ 而且 $a-1\in {𝐊}^{\times }$ ，那么$h(a,1-a)=1$。

进一步可以证明，$h(a,bc)=h(a,b)h(a,c)$。

参见

• 類域論
• 雅可比符号
• 勒让德符号
• 二次互反律

外部链接

• Mathworld中的希尔伯特符号 Template:Wayback

参考来源

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