射影表示

在表示论中，群 $G$ 在域 $F$ 上的向量空間 $V$ 上的射影表示指从 $G$ 到射影线性群 $P G L$ 的一個群同態

G \to P G L (V) : = G L (V) / F^{*}

其中 $G L (V)$ 表示在域 $F$ 上向量空間 $V$ 的可逆线性变换构成的一般线性群，而 $F^{*}$ 視為純量積映射 $v \mapsto c v$ ，其中 $c \in F^{*}$ 。

若 $V$ 維度有限，選定基底後可將 $P G L (V)$ 理解為 $P G L (n, F)$ ，即 $n \times n$ 階可逆矩陣對正規子群 $F^{*} \cdot {i d}_{V}$ 之商群。

對於給定的群表示 $ρ : G \to G L (V)$ ，與商映射 $p : G L (V) \to P G L (V)$ 合成後可得到一個射影表示。較常探討的是逆向的問題：如何將一個射影表示 $\bar{ρ} : G \to P G L (V)$ 提升至一個表示 $ρ : G \to G L (V)$ ，使得 $p \circ ρ = \bar{ρ}$ ？

對於提升問題，通常採取如下進路：取同態 $\bar{ρ} : G \to P G L (V)$ 與 $p : G L (V) \to P G L (V)$ 的纖維積，得到一個中心擴張

1 \to F^{*} \to \tilde{G} \to G L (V) \to 1

其中 $\tilde{G} = {(g, M) \in G \times G L (V) | p (M) = ρ (g)}$ 。

這類擴張由群上同調 $H^{2} (G L (V), F^{*})$ 分類。若此擴張是平凡的，則 $\bar{ρ}$ 可提升至 $G$ 的表示。即使此表示無法提升，仍可退而求其次，藉群上同調研究擴張的性質，例如：擴張對應的上同調類 $α \in H^{2} (G L (V), F^{*})$ 滿足 $n α = 0$ 若且唯若 $\bar{ρ}$ 可提昇為某個中心擴張 $1 \to μ_{n} \to \hat{G} \to G L (V) \to 1$ 的 $\hat{G}$ 的表示。

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