卡茨-穆迪代数

卡茨-穆迪代数是一個李代數，通常無限維，其定義自（Victor Kac所謂的）廣義根系。卡茨-穆迪代数的應用遍及數學和理論物理學。

定義

假定以下材料：

• $C=(c_{ij})$ ——一個r階廣義嘉當矩陣(generalised Cartan matrix) $C=(c_{ij})$ r.
• $𝔥$ ———— 一個 2n − r維複向量空間 $𝔥$.
• ${𝔥}^{*}$ ———— $𝔥$的對偶空間
• ${\alpha }_i$ ————$𝔥$ 中 n 枚相互獨立的元，稱為對偶根(co-root)
• ${\alpha }_i^{*}$ ————${𝔥}^{*}$ 中n 枚線性相互獨立的元 ,稱為根(root)
• 上述各元滿足 ${\alpha }_i^{*}({\alpha }_j)=c_{ij}$.

卡茨-穆迪代数$𝔤$ 由符號 $e_i$ , $f_i$ (i=1,..,n) 及空間$𝔥$ 生成：

以上各元滿足以下關係：

• $[e_i,f_i]={\alpha }_i.$
• $[e_i,f_j]=0$ ；其中 $i\ne j.$
• $[e_i,x]={\alpha }_i^{*}(x)e_i$, 其中$x\in 𝔥.$
• $[f_i,x]=-{\alpha }_i^{*}(x)f_i$, 其中 $x\in 𝔥.$
• $[x,x^{\prime }]=0$ ；其中 $x,x^{\prime }\in 𝔥.$
• $[e_i,[e_i,\dots ,[e_i,e_j]]]={𝒞}_{e_i}^{1-c_{ij}}{e}_j=0$ ;其中$e_i.$出現 $1-c_{ij}$ 次;
• $[f_i,[f_i,\dots ,[f_i,f_j]]]={𝒞}_{f_i}^{1-c_{ij}}{f}_j=0$ ;其中$f_i.$出現 $1-c_{ij}$ 次;

(其中 ${𝒞}_{x}y=[x,y]$.)

一個 實(維數可以無限)李代數亦可稱為 Kac–Moody代數，若其 複化 是個 Kac–Moody代數.

釋義

• $𝔥$ 是此卡茨-穆迪代数的一嘉當子代數。
• 若 g 是 Kac–Moody 代數的一元，使得

$\mathrm{\forall }x\in 𝔥[g,x]=\omega (x)g$

其中 ω 是 ${𝔥}^{*}$的一元，

則稱g 為 權(weight) ω的. 我们可分解一Kac–Moody 代數成其冪空間，則嘉當子代數 $𝔥$的冪为零，e_i的冪为α*_i，而f_i的冪为−α*_i。若二冪特徵向量的李括號非零，則其冪是二冪之和。（若 $i\ne j$ ) 則 $[e_i,f_j]=0$ 一條件即指 α*_i 都是簡單根。

分類

我们可分解廣義嘉當矩陣 C 成矩陣積 DS, 其中 D 是 正對角矩陣, S 是 對稱矩陣。 然則有三種可能:

• $𝔤$ 有限維 單李代數 (S 正定)
• $𝔤$ 是 仿射李代數 (S 正半定)
• 雙曲 (S 不定)

S 不可能 負定 或 負半定 因其對角元皆正.

參見

• 外爾-卡茨特徵標公式
• 广义卡茨-穆迪代数

參考

• <<Infinite-Dimensional Lie Algebras>>, Victor Kac, Cambridge University Press
• Encyclopaedia of Mathematics, Springer On-line References Template:Wayback