初值問題

在數學裏，初值問題是一個涉及微分方程式與一些初始條件的問題；這初始條件是微分方程式的未知函數在某些點的設定值。

以下是一些初值問題的例子：

$y^{\prime }=0.85y,y(0)=19$

$\dot{y}+3y=6t+5,y(0)=3$

定義

一個初值問題涉及微分方程式

$y^{\prime }(t)=f(t,y(t))\text{with}f:ℝ\times ℝ\to ℝ$ ，

與在 $f$ 的定義域內的一點

$(t_0,y_0)\in ℝ\times ℝ$ 。

這在 $f$ 的定義域內的點 $(t_0,y_0)$ 稱為初始條件。

• 假若初值問題的一個解是函數 $y$ ，則 $y$ 是微分方程式 $y^{\prime }(t)=f(t,y(t))$ 的解，滿足 $y(t_0)=y_0$ 。

• 對於更高階的問題，可視 $𝐲$ 為向量。每加高一個階，就増添一個分量給 $𝐲$ 。

解的存在性及唯一性

對於許多的初值問題，解的存在性及唯一性可以用計算機來描述。

若ƒ在一個包括t₀及y₀的區間內連續，且對變數y滿足利普希茨連續的條件．則皮卡-林德勒夫定理可保證在一個包括t₀的區間有唯一解。

此定理的證明需將問題變成等價的積分方程，積分可視為將一個函數映射為另一個函數的運算子，因此其解為運算子的不動點，再利用巴拿赫不动点定理證明有一個唯一的不動點．即為初值問題的解。

較早期證明皮卡-林德勒夫定理的方式是建構一個函數的數列，最終會收斂到積分方程的解，也就是初值問題的解。這種建構法稱為「皮卡法」或是「連續近似法」，是巴拿赫不动点定理的一個特例。

日本數學家Template:Link-ja找到一個初值問題有唯一解的充分必要條件，其條件是要證實系統的李亞普諾夫函數存在。

有些情形，函數ƒ不是光滑函数，甚至不是利普希茨連續，因此一般可確認局部唯一解的方式無法適用。皮亚诺存在性定理可以在函數ƒ僅僅為連續函數的情形，證明存在局部解。不過此時無法證明解的唯一性。Template:Link-en可適用的範圍更廣，可以在ƒ是一些特定不連續函數的情形下證明局部解是否存在。

範例

例一

一個簡單的範例是求解$y^{\prime }=0.85y$及$y(0)=19$，要求出一個$y(t)$滿足上述二式。

由於$y^{\prime }=\frac{dy}{dt}$，因此

$\frac{dy}{dt}=0.85y$

接下來重新整理方程式，使$y$在等式左邊，$t$在等式右邊

$\frac{dy}{y}=0.85dt$

再將等式二邊積分，會引入未知常數$B$

$\ln |y|=0.85t+B$

消去$\ln$

$|y|=e^B{e}^{0.85t}$

令$C$為一個新的未知常數，$C=\pm e^B$，因此

$y=C{e}^{0.85t}$

現在需要找出$C$的數值。利用$y(0)=19$的啟始條件，將$t$代入0，$y$代入19

$19=C{e}^{0.85*0}$

$C=19$

因此可得其解為$y(t)=19e^{0.85t}$.

例二

$\dot{y}+3y=6t+5,y(0)=3$

利用拉普拉斯变换

$sY(s)-y(0)+3Y(s)=\frac{6}{s^2}+\frac{5}{s}$

$\therefore Y(s)=\frac{y(0)s^2+5s+6}{s^2(s+3)}$

利用部分分式分解

$Y(s)=\frac{\alpha }{s}+\frac{\beta }{s^2}+\frac{\gamma }{s+3}$

$\alpha =1,\beta =2,\gamma =y(0)-1$

$Y(s)=\frac{1}{s}+\frac{2}{s^2}+\frac{y(0)-1}{s+3}$

拉普拉斯逆變換

$y(t)=2e^{-3t}+2t+1$

參閱

• 邊值問題
• 柯西问题
• 積分常數