克萊姆法則

Template:Refimprove Template:ScienceNavigation Template:NoteTA 克萊姆法則或克拉瑪公式（Template:Lang-en）是一個線性代數中的定理，用行列式來計算出線性等式組中的所有解。這個定理因加百列·克萊姆（1704年 - 1752年）的卓越使用而命名。在計算上，並非最有效率之法，因而在很多條等式的情況中沒有廣泛應用。不過，這一定理在理論性方面十分有效。

基本方程

一個線性方程組可以用矩陣与向量的方程來表示：

$Ax=c(1)$

其中的$A$是一个$n\times n$的方塊矩陣，而向量 $x=(x_1,x_2,\cdots x_n{)}^T$ 是一个长度为n的行向量。$c=(c_1,c_2,\cdots c_n{)}^T$ 也一样。

克莱姆法则说明：如果$A$是一个可逆矩陣（ $\det A\ne 0$ ），那么方程(1)有解 $x=(x_1,x_2,\cdots x_n{)}^T$，其中

$x_i=\frac{\det (A_i)}{\det (A)}$ (1)

当中$x_i$是列向量$x$的第i行（行向量与列向量不一样，解释默认列向量）

當中$A_i$是列向量$c$取代了$A$的第i列后得到的矩阵。為了方便，我們通常使用$\mathrm{\Delta }$來表示$\det (A)$，用${\mathrm{\Delta }}_i$來表示$\det (A_i)$。所以等式(1)可以寫成為：

$x_i=\frac{{\mathrm{\Delta }}_i}{\mathrm{\Delta }}$。

抽象方程

Template:Further 設$R$為一個環，$A$就是一個包含$R$的系數的$n\times n$矩陣。所以：

$\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(A)A=\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(A)I$

當中$\det (A)$就是$A$的行列式，以及$I$就是單位矩陣。

證明概要

对于$n$元线性方程组 $Ax=c$

把系数矩阵 Template:Smallmath 表示成行向量的形式

$A=(u_1,u_2,\cdots ,u_n)$

由于系数矩阵可逆，故方程组一定有解$x^{*}=A^{-1}c$.

设$x^{*}=(x_1,x_2,\cdots ,x_n{)}^T$，即

$A{x}^{*}=\sum _{k=1}^n{x}_k{u}_k=c$

考虑${\mathrm{\Delta }}_i$的值，利用行列式的線性和交替性質，有

$\begin{array}{cc}{\mathrm{\Delta }}_i& =det(\cdots ,u_{i-1},c,u_{i+1},\cdots )\\ & =det(\cdots ,u_{i-1},\sum _{k=1}^n{x}_k{u}_k,u_{i+1},\cdots )\\ & =\sum _{k=1}^n{x}_k\cdot det(\cdots ,u_{i-1},u_k,u_{i+1},\cdots )\\ & =x_i\cdot det(\cdots ,u_{i-1},u_i,u_{i+1},\cdots )\\ & =x_i\mathrm{\Delta }\end{array}$

于是

$x_i=\frac{{\mathrm{\Delta }}_i}{\mathrm{\Delta }}$

例子

运用克萊姆法則可以很有效地解決以下方程组。

已知：

$ax+by=e$

$cx+dy=f$

使用矩陣來表示時就是：

$\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}e\\ f\end{array}\right]$

当矩阵可逆时，x和y可以從克萊姆法則中得出：

$x=\frac{\left|\begin{array}{cc}e& b\\ f& d\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|}=\frac{ed-bf}{ad-bc}$

以及

$y=\frac{\left|\begin{array}{cc}a& e\\ c& f\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|}=\frac{af-ec}{ad-bc}$

用3×3矩陣的情況亦差不多。

已知：

$ax+by+cz=j$

$dx+ey+fz=k$

$gx+hy+iz=l$

當中的矩陣表示為：

$\left[\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}j\\ k\\ l\end{array}\right]$

当矩阵可逆时，可以求出x、y和z：

$x=\frac{\left|\begin{array}{ccc}j& b& c\\ k& e& f\\ l& h& i\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right|}$、   $y=\frac{\left|\begin{array}{ccc}a& j& c\\ d& k& f\\ g& l& i\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right|}$   以及   $z=\frac{\left|\begin{array}{ccc}a& b& j\\ d& e& k\\ g& h& l\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right|}$

微分幾何上的應用

克萊姆法則在解決微分幾何的问题时十分有用。

先考慮兩條等式$F(x,y,u,v)=0$和$G(x,y,u,v)=0$。其中的u和v是需要考虑的变量，并且它们互不相关。我們可定義$x=X(u,v)$和$y=Y(u,v)$。

找出一條等式適合$\partial x/\partial u$是克萊姆法則的簡單應用。

首先，我們要計算$F$、$G$、$x$和$y$的導數：

$dF=\frac{\partial F}{\partial x}dx+\frac{\partial F}{\partial y}dy+\frac{\partial F}{\partial u}du+\frac{\partial F}{\partial v}dv=0$

$dG=\frac{\partial G}{\partial x}dx+\frac{\partial G}{\partial y}dy+\frac{\partial G}{\partial u}du+\frac{\partial G}{\partial v}dv=0$

$dx=\frac{\partial X}{\partial u}du+\frac{\partial X}{\partial v}dv$

$dy=\frac{\partial Y}{\partial u}du+\frac{\partial Y}{\partial v}dv$

將$dx$和$dy$代入$dF$和$dG$，可得出：

$dF=(\frac{\partial F}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial F}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u}+\frac{\partial F}{\partial u})du+(\frac{\partial F}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial v}+\frac{\partial F}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial v}+\frac{\partial F}{\partial v})dv=0$

$dG=(\frac{\partial G}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial G}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u}+\frac{\partial G}{\partial u})du+(\frac{\partial G}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial v}+\frac{\partial G}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial v}+\frac{\partial G}{\partial v})dv=0$

因為$u$和$v$互不相关，所以$du$和$dv$的系數都要等於0。所以等式中的系數可以被寫成：

$\frac{\partial F}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial F}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u}=-\frac{\partial F}{\partial u}$

$\frac{\partial G}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial G}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u}=-\frac{\partial G}{\partial u}$

$\frac{\partial F}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial v}+\frac{\partial F}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial v}=-\frac{\partial F}{\partial v}$

$\frac{\partial G}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial v}+\frac{\partial G}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial v}=-\frac{\partial G}{\partial v}$

現在用克萊姆法則就可得到：

$\frac{\partial x}{\partial u}=\frac{\left|\begin{array}{cc}-\frac{\partial F}{\partial u}& \frac{\partial F}{\partial y}\\ -\frac{\partial G}{\partial u}& \frac{\partial G}{\partial y}\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial F}{\partial x}& \frac{\partial F}{\partial y}\\ \frac{\partial G}{\partial x}& \frac{\partial G}{\partial y}\end{array}\right|}$

用兩個雅可比矩陣來表示的方程：

$\frac{\partial x}{\partial u}=-\frac{\left(\frac{\partial (F,G)}{\partial (y,u)}\right)}{\left(\frac{\partial (F,G)}{\partial (x,y)}\right)}$

用類似的方法就可以找到$\frac{\partial x}{\partial v}$、$\frac{\partial y}{\partial u}$以及$\frac{\partial y}{\partial v}$。

基本代數上的應用

克萊姆法則可以用來證明一些線性代數中的定理，當中的定理對環理論十分有用。

線性規劃上的應用

克萊姆法則可以用來證明一個線性規劃問題有一個基本整數的解。這樣使得線性規劃的問題更容易被解決。

缺点

克莱姆法则在电子计算机出现后，被认为是难以实际用于计算的。当使用克莱姆法则计算一个$n$阶线性方程组时，所需乘法次数为$(n+1)!$ 次。例如求解25阶线性方程组时，总计乘法次数需要$26!$（即4.03×10²⁶）次，若计算机每秒能计算100亿次，所需时间约12.79亿年。相比之下，高斯消元法只需3060次乘法，对计算机而言易如反掌。

參考文獻

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外部链接

• Online calculator to solve a system of ecuations using the Cramer's Rule
• Systems Solver