体积形式

数学中，体积形式提供了函数在不同坐标系（比如球坐标和圆柱坐标）下对体积积分的一种工具。更一般地，一个体积元是流形上一个测度。

在一个定向n-维流形上，体积元典型地由体积形式生成，所谓体积元是一个处处非零的n-阶微分形式。一个流形具有体积形式当且仅当它是可定向的，而可定向流形有无穷多个体积形式（细节见下）。

有一个推广的伪体积形式概念，对无论可否定向的流形都存在。

许多类型的流形有典范的（伪）体积形式，因为它们有额外的结构保证可选取一个更好的体积形式。在复情形，一个带有全纯体积形式的凯勒流形是卡拉比-丘流形。

定义

流形M上一个体积形式是处处非0的最高阶（n-维流形上的n-形式）微分形式。

用线丛的语言来说，称最高阶外积${\mathrm{\Omega }}^n(M)={\mathrm{\Lambda }}^n(T^{*}M)$为行列式线丛，n-形式是它的截面。

对不可定向流形，一个体积“伪”形式，也称为“奇”或“扭曲”的体积形式，可以定义为定向丛的一个处处非0截面；这个定义同样适用于定向流形。在这种看法下，（非扭曲的）微分形式就是“偶” n-形式。除非特别地讨论扭曲形式时，我们总是略去形容词“偶”。

第一次明确地引入扭曲微分形式是德拉姆。

定向

一个流形具有体积形式当且仅当它可定向，这也可以作为可定向的一个定义。

在G-结构的语言中，一个体积形式是一个SL-结构。因为$\text{SL}\to {\text{GL}}^{+}$是形变收缩（因为${\text{GL}}^{+}=\text{SL}\times {𝐑}^{+}$，这里正实数视为纯量矩阵），一个流形具有一个SL-结构当且仅当具有一个${\text{GL}}^{+}$-结构，即是一个定向。

在线丛的语言中，行列式丛${\mathrm{\Omega }}^n(M)$的平凡性等价于可定向性，而一个线丛是平凡的当且仅当它有一个处处非0的截面，这样又得到，体积形式的存在性等价于可定向性。

对于伪体积形式，一个伪体积形式是一个${\text{SL}}^{\pm }$-结构，因为${\text{SL}}^{\pm }\to \text{GL}$ 同伦等价（事实上是形变收缩），任何流形都有伪体积形式。类似地，定向丛总是平凡的，所以任何流形都有一个伪体积形式。

和测度的关系

任何流形有一个伪体积形式，因为定向丛（作为线丛）是平凡的。给定一个定向流形上的体积形式ω，密度 |ω| 是忘掉定向结构的非定向流形的一个伪体积形式。

任何伪体积形式ω（从而任何体积形式亦然）定义了一个波莱尔集合上一个测度：

${\mu }_{\omega }(U)=\underset{U}{\int }\omega .$

注意区别，在于任何一个测度可以在（Borel）子集上积分，而一个体积形式只能在一个“定向”胞腔上积分。在单变量微积分中，写成$\underset{b}{\overset{a}{\int }}fdx=-\underset{a}{\overset{b}{\int }}fdx$，将$dx$视为体积形式而不是测度，$\underset{b}{\overset{a}{\int }}$表明“在$[a,b]$上沿着定向相反的反向积分”，有时记成$\overline{[a,b]}$。

进一步，一般的测度不必连续或光滑，他们不必由体积形式定义；或更形式地说，关于一个体积形式的Radon-Nikodym导数不必绝对连续。

例子

李群

任何李群，可以由平移定义一个自然的体积形式。这就是说，如果ω_e 是${\bigwedge }^n{T}_e^{*}G$中一个元素，那么一个左不变形式可以定义为${\omega }_g=L_g^{*}{\omega }_e$，这里L_g为左平移。作为一个推论，任何李群都是可定向的。这个体积形式在相差一个常数的意义下是惟一的，相应的测度称为哈尔测度。

辛流形

任何辛流形（或更确切地为殆辛流形）有一个自然的体积形式。如果M是一个带有辛形式ω的2n-维流形，那么由辛形式非退化可知ωⁿ处处非零。作为一个推论，任何辛流形是可定向的（事实上，已经定向）。

黎曼体积形式

任何黎曼流形（或伪黎曼流形）有一个自然的体积（或伪体积）形式。在局部坐标系下，能写成表达式：

$\omega =\sqrt{|g|}d{x}^1\wedge \dots \wedge d{x}^n$

这里流形为n-维，$|g|$是流形上度量张量行列式的绝对值，$d{x}^i$为组成流形余切丛一组基的1形式。

这个体积形式有许多不同的记号，包括：

$\omega ={\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}}_n=ϵ=*(1).$

这里∗是霍奇对偶，从而最后一个形式∗(1)强调体积形式是流形上常数映射的霍奇对偶。

尽管希腊字母ω经常用于表示体积形式，但是这个记法很难通用，符号ω在微分几何中经常有其它意思（比如辛形式），所以一个公式中的ω不一定就表示体积形式。

一个流形如果既是辛的又是黎曼的，如果流形是凯勒的那种方式定义的体积形式相等。

曲面的体积形式

体积形式一个简单的例子可以考虑嵌入n-维欧几里得空间中的2-维曲面。考虑子集$U\subset {𝐑}^2$，以及映射函数

$\varphi :U\to {𝐑}^n$

定义了嵌入到${𝐑}^n$中的一个曲面。映射的雅可比矩阵为

${\lambda }_{ij}=\frac{\partial {\varphi }_i}{\partial u_j}$

指标i从1跑到n，j从1跑到2。n-维空间的欧几里得度量诱导了集合U上的一个度量，度量矩阵分量为：

$g_{ij}=\sum _{k=1}^n{\lambda }_{ki}{\lambda }_{kj}=\sum _{k=1}^n\frac{\partial {\varphi }_k}{\partial u_i}\frac{\partial {\varphi }_k}{\partial u_j}$

度量的行列式由

$\det g={|\frac{\partial \varphi }{\partial u_1}\wedge \frac{\partial \varphi }{\partial u_2}|}^2=\det ({\lambda }^T\lambda )$

给出，这里$\wedge$是楔积。对一个正则曲面，这个行列式不为0；等价地，雅可比矩阵的秩为2。

现在考虑U的一个坐标变换，由微分同胚

$f:U\to U,$

给出。从而坐标$(u_1,u_2)$用$(v_1,v_2)$形式表示是$(u_1,u_2)=f(v_1,v_2)$。坐标变换的雅可比矩阵为：

$F_{ij}=\frac{\partial f_i}{\partial v_j}$

在新坐标系下，我们有：

$\frac{\partial {\varphi }_i}{\partial v_j}=\sum _{k=1}^2\frac{\partial {\varphi }_i}{\partial u_k}\frac{\partial f_k}{\partial v_j}$

从而度量变换为：

$\tilde{g}=F^{T}gF$

这里 $\tilde{g}$是在v坐标系下的度量。行列式：

$\det \tilde{g}=\det g(\det F{)}^2$.

给出以上构造后，现在可以直接理解为什么体积在坐标变换下不变的。在2维，体积就是面积。子集$B\subset U$的面积由积分：

$\begin{array}{cc}\text{Area}(B)& =\underset{B}{\iint }\sqrt{\det g}d{u}_{1}d{u}_2\\ & =\underset{B}{\iint }\sqrt{\det g}\det Fd{v}_{1}d{v}_2\\ & =\underset{B}{\iint }\sqrt{\det \tilde{g}}d{v}_{1}d{v}_2\end{array}$

给出。从而，在任一坐标系下，体积都有相同的表达式，即这个表达式在坐标变换下是不变的。

注意到在以上表达式中2维并没有任何特殊性，以上结论可以平凡地推广到任意维数。

体积形式不变性

体积形式不是惟一的，它们以如下方式组成了流形上非0函数上的一个旋子。这是Radon–Nikodym定理的一个几何形式。

给定M上一个处处函数f，和一个体积形式$\omega$，$f\omega$也是M上的体积形式。相反地，给定任何两个体积形式$\omega ,{\omega }^{\prime }$，他们的比是一个处处非0函数（如果定向相同为正，定向相反为负）。

在坐标系中，他们都不过是一个处处非0函数乘以勒贝格测度，他们的比就是函数的比，这和坐标系的选取无关。本质上，这是${\omega }^{\prime }$关于$\omega$的Radon–Nikodym导数。

无局部结构

一个体积形式没有局部结构：任何两个体积形式（在相同维数的流形上）是局部同构的。

正式地说，这个结论意味着给定任何两个同维数的流形$M,N$，分别具有体积形式${\omega }_M,{\omega }_N$，对任何点$m\in M,n\in N$，存在一个映射$f:U\to V$（这里$U$是$m$的一个邻域而$V$是$n$的一个邻域），使得N（限制在邻域$V$上）上的体积形式拉回到$M$（限制在邻域$U$）上的体积形式：$f^{*}{\omega }_N{|}_V={\omega }_M{|}_U$。给定维数的可微流形是局部微分同胚的；增添的判断标准是体积形式拉回到体积形式。

在1维情形，可以这样证明：给定$𝐑$上一个体积形式$\omega$，定义

$f(x):=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\omega$

那么标准勒贝格测度$dx$通过f: $\omega =f^{*}dx$拉回到$\omega$，实际上，$\omega =fdx$。

高维数时，给定任何一点$m\in M$，存在一个邻域局部同胚于$𝐑\times {𝐑}^{n-1}$，我们可以进行相同的步骤。

整体机构：体积

连通流形M上一个体积形式有一个惟一的整体不变量，即总体积（记作$\mu (M)$），在保持体积形式的映射下不变；总体积可能是无穷，比如${𝐑}^n$上的勒贝格测度。对于一个不连通流形，任何连通分支的体积是不变量。

用符号表示，如果$f:M\to N$是流形的同胚，将${\omega }_N$拉回到${\omega }_M$，那么

$\mu (N)=\underset{N}{\int }{\omega }_N=\underset{f(M)}{\int }{\omega }_N=\underset{M}{\int }{f}^{*}{\omega }_N=\underset{M}{\int }{\omega }_M=\mu (M)$

从而流形具有相同的体积。

体积形式也能在覆盖映射下拉回，在此情况下将体积乘以纤维的基数（形式地说，在纤维上积分）。在无穷重覆盖（比如$𝐑\to S^1$），有限体积流形上的体积形式拉回到一个无穷体积流形上的体积形式。

反过来，于尔根·莫泽的一个定理指出，对于连通紧流形上两个体积相等的体积形式${\omega }_1$和${\omega }_2$，存在一个流形的微分自同胚将${\omega }_1$拉回到${\omega }_2$，事实上存在由的流形成同痕。

另见

• 庞加莱度量给出了复平面上一个新的体积形式；
• 测度。

参考文献

• Michael Spivak, Calculus on Manifolds, (1965) W.A. Benjamin, Inc. Reading, Massachusetts ISBN 0-8053-9021-9（提供了一个微分几何的现代理念的初等介绍，只需要一般的微积分背景。）