庞加莱度量

数学中，庞加莱度量（Template:Lang），以昂利·庞加莱命名，描述了一个常负曲率二维曲面的度量张量。它是双曲几何和黎曼曲面中广为使用的自然度量。

在二维双曲几何中有三种广泛使用的等价表述。其中一个是庞加莱半平面模型，在上半平面上定义一个双曲空间模型。庞加莱圆盘模型在单位圆盘上定义了一个双曲空间模型。圆盘与上半平面通过一个共形映射联系，等距由莫比乌斯变换给出。第三个表述是在穿孔圆盘上，通常表示为与 q-类似（Template:Lang）的关系，这种形式不同于前两种。

黎曼曲面上的度量概要

复平面上的度量可写成一般形式

$d{s}^2={\lambda }^2(z,\bar{z})dzd\bar{z}$

这里 λ 是 z 与 $\bar{z}$ 的一个实正函数。复平面上曲线 γ 的长度为

$l(\gamma )=\underset{\gamma }{\int }\lambda (z,\bar{z})|dz|.$

复平面上子集 M 之面积是

$\text{Area}(M)=\underset{M}{\int }{\lambda }^2(z,\bar{z})\frac{i}{2}dz\wedge d\bar{z},$

这里 $\wedge$ 是用于构造体积形式的外积。度量的行列式等于 ${\lambda }^4$，故而行列式的平方根是 ${\lambda }^2$。复平面上的欧几里得体积形式为 $dx\wedge dy$，从而我们有

$dz\wedge d\bar{z}=(dx+idy)\wedge (dx-idy)=-2idx\wedge dy.$

函数 $\mathrm{\Phi }(z,\bar{z})$ 称为度量的势能（Template:Lang），如果

$4\frac{\partial }{\partial z}\frac{\partial }{\partial \bar{z}}\mathrm{\Phi }(z,\bar{z})={\lambda }^2(z,\bar{z}).$

拉普拉斯–贝尔特拉米算子为

$\mathrm{\Delta }=\frac{4}{{\lambda }^2}\frac{\partial }{\partial z}\frac{\partial }{\partial \bar{z}}=\frac{1}{{\lambda }^2}(\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}).$

度量的高斯曲率由

$K=-\mathrm{\Delta }\log \lambda ,$

给出，这个曲率是里奇数量曲率的一半。

等距保持角度与弧长。在黎曼曲面上，等距与坐标变换等价：即拉普拉斯-贝尔特拉米算子与曲率在等距下不变。从而，比如设 S 是一个黎曼曲面带有度量 ${\lambda }^2(z,\bar{z})dzd\bar{z}$ 而 T 是带有度量 ${\mu }^2(w,\bar{w})dwd\bar{w}$ 的黎曼曲面，则映射

$f:S\to T$

以及 $f=w(z)$ 是等距当且仅当它是共形的以及

${\mu }^2(w,\bar{w})\frac{\partial w}{\partial z}\frac{\partial \bar{w}}{\partial \bar{z}}={\lambda }^2(z,\bar{z}).$

在这里，映射为共形的也就是条件

$w(z,\bar{z})=w(z),$

即

$\frac{\partial }{\partial \bar{z}}w(z)=0.$

庞加莱平面上的度量与体积元

庞加莱半平面模型中上半平面 H 的庞加莱度量张量为

$d{s}^2=\frac{d{x}^2+d{y}^2}{y^2}=\frac{dzd\bar{z}}{y^2},$

这里我们记 $dz=dx+idy$。这个度量张量在 SL(2,R) 的作用下不变。这就是，如果我们记

$z^{\prime }=x^{\prime }+i{y}^{\prime }=\frac{az+b}{cz+d},$

对 $ad-bc=1$，则我们可算得

$x^{\prime }=\frac{ac(x^2+y^2)+x(ad+bc)+bd}{|cz+d{|}^2},$

与

$y^{\prime }=\frac{y}{|cz+d{|}^2},$

无穷小变换为

$d{z}^{\prime }=\frac{dz}{(cz+d{)}^2},$

从而

$d{z}^{\prime }d{\bar{z}}^{\prime }=\frac{dzd\bar{z}}{|cz+d{|}^4}.$

这样便清楚地表明度量张量在 SL(2,R) 的作用下不变。

不变体积元素为

$d\mu =\frac{dxdy}{y^2}.$

对 $z_1,z_2\in ℍ$ 度量为

$\rho (z_1,z_2)=2{\tanh }^{-1}\frac{|z_1-z_2|}{|z_1-\overline{z_2}|},$

$\rho (z_1,z_2)=\log \frac{|z_1-\overline{z_2}|+|z_1-z_2|}{|z_1-\overline{z_2}|-|z_1-z_2|}.$

度量的另一个有用的形式是用交比给出。给定紧化复平面 $\widehat{ℂ}=ℂ\cup \mathrm{\infty }$ 上任意四点 $z_1,z_2,z_3$ 与$z_4$，交比定义为

$(z_1,z_2;z_3,z_4)=\frac{(z_1-z_2)(z_3-z_4)}{(z_2-z_3)(z_4-z_1)}.$

那么度量用交比表示为

$\rho (z_1,z_2)=\ln (z_1,z_2^{\times };z_2,z_1^{\times }).$

这里 $z_1^{\times }$ 与 $z_2^{\times }$ 是端点，位于实数轴上，测地线连接 $z_1$ 与 $z_2$。这些点是有顺序的故 $z_1$ 位于 $z_1^{\times }$ 与 $z_2$ 之间。

这个度量张量的测地线是在两个端点处垂直于实轴的圆弧（的一段），即端点位于实轴的上半圆周。

从平面到圆盘的共形映射

上半平面可以共形地映到单位圆盘，用莫比乌斯变换

$w=e^{i\varphi }\frac{z-z_0}{z-\overline{z_0}},$

这里单位圆盘上的点 w 对应于上半平面上的点 z。在这个映射中，常数 z₀ 可取上半平面上任何一点；这个点将映为圆盘的中心。实数轴 $\mathrm{\Im }z=0$ 映为单位圆盘的边界 $|w|=1$。实常数 $\varphi$ 将圆盘旋转任意一个角度。

典范映射是

$w=\frac{iz+1}{z+i}$

将 i 映为圆盘的中心，0 映为圆盘的最低点。

庞加莱圆盘上的度量与体积元素

庞加莱圆盘模型里的庞加莱度量张量在单位圆盘 $U=\{z=x+iy:|z|=\sqrt{(x^2+y^2)}\le 1\}$ 上为

$d{s}^2=\frac{d{x}^2+d{y}^2}{(1-(x^2+y^2){)}^2}=\frac{dzd\bar{z}}{(1-|z{|}^2{)}^2}.$

体积形式为

$d\mu =\frac{dxdy}{(1-(x^2+y^2){)}^2}=\frac{dxdy}{(1-|z{|}^2{)}^2}.$

对 $z_1,z_2\in U$ 的庞加莱度量为

$\rho (z_1,z_2)=2{\tanh }^{-1}\left|\frac{z_1-z_2}{1-z_1\overline{z_2}}\right|.$

这个度量张量的测地线是在端点处正交于圆盘边界的圆弧。

穿孔圆盘模型

穿孔圆盘坐标上的 J-不变量（Template:Lang）；这是 nome 的一个函数。

庞加莱圆盘坐标上的 J-不变量；注意这个圆盘比文中给出的典范坐标旋转了90度。

第二个将上半平面映成圆盘是 q-映射：

$q=exp(i\pi \tau )$

这里 q 是 nome（Template:Lang），$\tau$ 是半周期比例（Template:Lang）。在上一节的记号中，$\tau$ 是上半平面 $\mathrm{\Im }\tau >0$ 的坐标。这个映射映到穿孔圆盘，因为值 q=0 不在映射的像中。

上半平面的庞加莱度量在 q-圆盘上诱导一个度量

$d{s}^2=\frac{4}{|q{|}^2(\log |q{|}^2{)}^2}dqd\bar{q},$

度量的势能是

$\mathrm{\Phi }(q,\bar{q})=4\log \log |q{|}^{-2}.$

施瓦茨引理

庞加莱度量在调和函数上距离减小。这是施瓦茨引理的一个推广，称为施瓦茨-阿尔福斯-皮克定理（Template:Lang）。

另见

• 富克斯群（Template:Lang）
• 富克斯模型（Template:Lang）
• 克莱因群
• 克莱因模型
• 庞加莱圆盘模型
• 庞加莱半平面模型
• 本原测地线（Template:Lang）
• 施瓦茨-阿尔福斯-皮克定理

引用

• Hershel M. Farkas and Irwin Kra, Riemann Surfaces (1980), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90465-4.
• Jurgen Jost, Compact Riemann Surfaces (2002), Springer-Verlag, New York. ISBN 3-540-43299-X (See Section 2.3).
• Svetlana Katok, Fuchsian Groups (1992), University of Chicago Press, Chicago ISBN 0-226-42583-5 (Provides a simple, easily readable introduction.)